¿Por qué la proporción de $\ln(x)$ y $\log(x)$ ¿una constante?

Question

Estaba resolviendo algunos problemas de complejidad asintótica de algoritmos "Big-Oh", cuando descubrí que para alguna constante $c$ y alguna variable $x$ :

$$c^{\log(x)}$$ y $$x^{\log(c)}$$

crecen al mismo ritmo. Al calcular esto terminé con la expresión:

$$\frac{\ln(x)}{\log(x)}=\frac{\ln(c)}{\log(c)}\approx 2.3025$$

Este resultado me ha sorprendido y desconcertado. Esto puede parecer una pregunta ingenua, pero ¿podría alguien ayudarme a entender cómo la proporción de $\log_{10}(x)$ y $\ln(x)$ acaba siendo un valor constante?

Answer 1

Algunas de las respuestas ya proporcionadas se acercan a una explicación completa, pero no del todo.

Recordemos que si $b > 1$ y $x > 0$ et $$\log_b x = y,$$ lo que esto significa es que $b^y = x$ . En otras palabras, la base $b$ logaritmo de $x$ es un exponente $y$ tal que cuando la base $b$ se eleva al $y^{\rm th}$ potencia, el resultado es $x$ . Esta es la definición de un logaritmo (de valor real).

Entonces, ¿por qué es que para dos bases $a$ , $b$ , $$\frac{\log_a x}{\log_b x}$$ es una constante que no depende de $x$ ? La razón es que $\log_a x$ es un exponente, por ejemplo $y$ tal que $a^y = x$ y $\log_b x$ es un exponente, por ejemplo $w$ tal que $b^w = x$ Entonces $$b^w = x = a^y.$$ Y ahora, levantando ambos lados a la $1/w$ potencia, obtenemos $$b = (b^w)^{1/w} = (a^y)^{1/w} = a^{y/w}.$$ Por tanto, la relación $y/w$ no depende de $x$ . De hecho, utilizando de nuevo la definición de logaritmo, $y/w$ es el exponente cuya base $a$ debe elevarse para obtener $b$ es decir, tenemos explícitamente $$\frac{y}{w} = \log_a b,$$ y a partir de aquí, obtenemos (con un paso algebraico adicional) lo que se conoce como la fórmula de "cambio de base" $$\frac{\log_a x}{\log_a b} = \log_b x.$$

Obsérvese que sólo la definición de $\log$ y la regla de los exponentes $(b^m)^n = b^{mn}$ .

Answer 2

Para todos $x\neq1$ , $x>0$ que tenemos: $$\frac{\ln{x}}{\log{x}}=\frac{\ln{x}}{\frac{\log_ex}{\log_e{10}}}=\log_e10=\ln10.$$

Answer 3

Pista: $\ln(10)\approx 2.3025$ . Dada esa información, su conjetura es que $\ln(x)=\ln(10)\log_{10}(x)$ . ¿Puedes ver alguna forma de demostrarlo?

Answer 4

Si $\ln x = a_x$ y $\log_{10} x = b_x$ entonces

$e^{a_x} = x$ y $10^{b_x} = x$ .

Tenga en cuenta $10 = e^{\ln 10}$ así que $10^k = (e^{\ln 10})^k = e^{k\ln 10}$ .

Así que si $10^{k_x} =e^{k_x\ln 10} = x$ a continuación......

Por definición $\log_{10} x = k_x$ y $\ln x = k_x\ln 10$ y así.......

$\frac {\ln x}{\log_{10} x} = \frac {k_x\ln 10}{k_x} = \ln 10$ .

Es sólo una constante de conversión y no debería sorprendernos.

Esta es la base misma de la norma $\log_b x = \frac {\log_a x}{\log_a b}$ (tenga en cuenta si $x$ es una variable y $b$ es una constante exactamente su observación).

Answer 5

Toma el logaritmo de ambas expresiones: $$ \log(c^{\log x})=\log x\log c \qquad \log(x^{\log c})=\log c\log x $$ Por lo tanto, no sólo $c^{\log x}$ y $x^{\log c}$ crecen al mismo ritmo: son igual sea cual sea la base de logaritmos que utilices.

Para la segunda parte, observe que $x=e^{\ln x}=b^{\log_bx}$ por definición. Entonces $$ \ln x=\log_bx\ln b $$ Por lo tanto, para $x\ne1$ , $$ \frac{\ln x}{\log_bx}=\ln b $$