Buen ordenamiento y cadenas máximas en conjunto de potencia.

Question

Deje $M$ ser un conjunto y "$\le$" un buen orden de $M$. Para $x \in M$definir: $$ M_{\le x} := \{ y \in M \ \vert\ y \le x \} $$ El mapa $$ f : M \to \mathcal{P}(M) \ ,\ x \mapsto M_{\le x}$$ es inyectiva y tiene la siguiente propiedad: $$ x \le y \Leftrightarrow f(x) \subseteq f(y)$$ Además, el conjunto de $\{ \emptyset \} \cup f(M) \cup \{M\}$ es una máxima de la cadena en $\mathcal{P}(M)$ (ordenado por "$\subseteq$"). Mi pregunta es: ¿todas las máximas de la cadena en $\mathcal{P}(M)$ se derivan de esta manera? Hay un bijection entre el bien ordenamientos de $M$ y el máximo de las cadenas en su juego de poder? Yo todavía no era capaz de la prueba de que.

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Yo estaría super contento si esto fue incluso comprobable sin el axioma de elección. Esto daría una breve prueba de la buena ordenación teorema por Hausdorffs máxima principio. También, si $(M,\le)$ es un parcial conjunto ordenado y $K$ es una máxima de la cadena en $\mathcal{P}(M)$, creo que $f^{-1}((\{\emptyset\} \cup f(M) \cup \{M\} ) \cap K)$ (donde $f$ es ahora definido a través de los pedidos parciales "$\le$") es una máxima de la cadena en $M$. Así que esto daría una breve prueba de la máxima principio a través de la buena ordenación teorema. ¿Qué te parece? Espero que no haya ningún error evidente...

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Edit: Bueno, hubo un error evidente y como usted ha señalado, la máxima de las cadenas en $\mathcal{P}(M)$ realmente no necesita para relacionar a los ordenamientos de $M$. Mi meta original fue caracterizar la declaración "$M$ está bien-economicas de" a "a la máxima principio se aplica a $M$", lo que esto significa. Sé que la prueba máxima de los componentes de las cadenas en el conjunto de parcial bien-compra (bien ordenamientos en los subconjuntos de a$M$) equivalente a los ordenamientos de $M$ pero esto no parece útil para la construcción de una máxima de cadena en $M$ si $M$ es parcial ordenado.

Answer 1

No. De hecho, vamos a $A\subset\mathcal{P}(M)$ ser cualquier cadena que no está bien ordenado (una cadena existe mientras se $M$ es infinito; por ejemplo, usted puede simplemente tomar una infinita secuencia descendente donde se quita un elemento a la vez). Por el lema de Zorn, $A$ está contenida en algunos máxima de la cadena de $B$ de $\mathcal{P}(M)$, que no está bien ordenada, ya que contiene la $A$. Ya que todas las cadenas que usted describe son bien ordenados, esto $B$ no puede ser de esa forma.

Answer 2

Su construcción de obras de cualquier orden total en $M,$ no sólo bien ordenamientos.

Y dado una máxima de cadena en $P(M),$ obtener un orden total en $M.$de Estos están en correspondencia 1-1.

Inicio de la Prueba: Vamos a $C$ ser una máxima de cadena en $P(M).$ Entonces $\emptyset, M\in C,$ debido a que la cadena no ser máxima si ellos no lo eran.

Si $x,y\in M$ nos dice $x\leq_C y$ si y sólo si $\forall S\in C$si $y\in S\implies x\in S.$

Para probar:

(1) Este es un orden parcial. La reflexividad y transitividad son fáciles. La única parte difícil es probar si $x\leq y$ e $y\leq x,$ tendrías $x=y.$ Esto es debido a la maximality de $C.$

(2) Este es un orden total.

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La razón fundamental es que cualquier máxima de la cadena en $P(M)$ es cerrado bajo arbitraria de uniones e intersecciones. Así que la unión de $U_x$ de los elementos de $C$ que no contengan $x$ y la intersección $V_x$ de todos los elementos de a$C$ que contienen $x$ están en $C$, y no hay elementos de $C$ estrictamente entre $U_x$ y $V_x.$

Para (1), esto significa que si $x\leq y$ e $y\leq x$ entonces $y\in U_x$ e $y\not\in V_x.$ Pero esto significa que $U_x\cup\{y\}$ es estrictamente entre $U_x$ e $V_x.$\

Para (2), esto significa que para $x.y\in M,$ bien $U_x\subseteq U_y$ o $U_y\subseteq U_x$, desde el $U_x,U_y\in C$ e $C$ es una cadena. Pero $U_x\subseteq U_y$ medio $x\leq y$ por lo tanto $x\leq_C y$ o $y\leq_C x.$