Número de homomorfismos entre dos grupos arbitrarios.

Question

Cuántos homomorphisms están allí desde A5 hasta el S4 ?

Esta es la forma en que me trató de resolverlo.

Si hay un homomorphism desde A5 hasta el S4 , entonces el orden de un elemento de S4 debe dividir el orden de su preimagen. Ahora, ¿cuáles son los posibles orden de los elementos en el S4.1,2,3 y 4. Desde A5 contiene (12345), que es de orden 5.. ¿cuál podría ser la imagen de (12345). Definitivamente elemento de Identidad, que es de orden 1. De manera similar, todos 5 los ciclos debe ser asignada a la identidad. Hay 24 elementos de 5 ciclos. 24 elementos de las 60 que se asignan a la identidad .. ahora sólo dos tipos de homomorphisms son posibles. 30:1mapping o de 60:1 mapa. Considere la posibilidad de (12)(34), que pertenece a la A5. Es la imagen puede ser elemento de orden 2 o identidad.hay 15 elementos de orden 2 . supongamos que estas 15 elementos se asignan a algún elemento de la " g " de la orden de 2 de S4, usted necesita otro 15 elementos para obtener asignado a 'g' 30 :1 mapa. Otro tipo de elementos a la izquierda en A5 es de orden 3. Ninguno de ellos puede ser asignada a g. por lo tanto 15 elementos de orden 2 se debe asignar a la identidad. por tanto , (24+15=39) de los elementos asignados a la identidad.Como se mencionó anteriormente debe ser de 30 :1 o de 60:1 mapa. Así que debe ser de 60:1 mapa.Por lo tanto, un trivial homomorphism. La respuesta es 1.

Yo quería saber ¿hay alguna otra técnica que puede ser utilizada para encontrar el número de homomorphism en la pregunta anterior ? En general, cómo encontrar el número de homomorphism entre dos grupos arbitrarios ?

Answer 1

Supongamos $f:A_5 \to S_4$ ser un homomorphism. A continuación, $\ker f$ es un subgrupo normal de $A_5$. Pero $A_5$ es simple, por lo $$\ker f \in \Big\{ \{e\},A_5\Big\}$$

• $\ker f=\{e\}$ implica $$A_5/\{e\} \sim f(A_5)$$ and so $f(A_5)$ is a subgroup of order $60$ in $S_4$, which is not possible in $S_4$.
• $\ker f=A_5$ implica $f$ es trivial

Por lo tanto $$\Big\vert\{f \;\vert \;f:A_5 \to S_4 \;\text{is a homomorphism} \}\Big\vert=1$$

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Para encontrar homomorphism $f$ para arbitraay dos grupos, el uso de los siguientes hechos:

• $\vert f(g) \vert$ divide $\vert g \vert$ donde $g$ pertenecen al dominio con $\vert g \vert < \infty$ [esto es útil para grupos finitos]
• $f(g^n)=[f(g)]^n$
• Lista de todos los subgrupos normales de dominio y uso primer teorema de isomorfismo