límite de forma "$∞ \cdot 0$"

Question

Estoy intentando demostrar formalmente que el límite de$2^n\sin(π/2^n)$ a medida que$n$ se aproxima al infinito es$π$. Generalmente puedo decir el límite de cada término de producto de$∞$ y$0$ respectivamente, pero no estoy muy confundido sobre cómo hacer uso de estos hechos. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencia:$\dfrac{\sin(\pi/2^n)}{\pi/2^n}\to1$ cuando$n\to\infty$

Answer 2

Usando el límite bien conocido para$\frac{\sin{x}}{x} \xrightarrow{x \to 0} 1$

PS

dónde $$\lim_{n \to\infty} 2^n \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) = \lim_{n \to\infty} \pi \frac{2^n}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) = \pi \lim_{n \to\infty} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)}{\frac{\pi}{2^n}} = \pi \lim_{z \to 0} \frac{\sin(z)}{z} = \pi$

Answer 3

Sugerencia:$\sin(z)/z\to1$ cuando$z\to0$. ¿Qué significa eso si$z=\pi/2^n$?

Answer 4

Recordemos de la geometría elemental que la función sinusoidal satisface las desigualdades

PS

para $$x\cos(x)\le \sin(x)\le x \tag 1$. Por lo tanto, dejar que$0\le x\le \pi/2$ en$x=\pi/2^n$ y multiplicar por$(1)$ revela

PS

La aplicación del teorema de compresión produce el límite de interés.