El teorema fundamental del álgebra afirma:
Teorema Dejemos que $P$ sea un polinomio de grado $\geq 1$ en $\Bbb C$ . Entonces existe un $z_1\in\Bbb C$ tal que $P(z_1)=0$ .
El esquema de la prueba es el siguiente:
Lema 1 Para cada $A>0$ hay un $R>0$ tal que $|z|\geq R$ implica $|P(z)|\geq A$
Prueba Para $z\neq 0$ , escriba
$$P(z)=a_0z^n Q(z)$$
donde $$Q(z)=\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{a_0}z^{-k}$$
Entonces $Q\to 1$ para $z\to \infty$ por lo que hay un $R_1$ para lo cual $|z|\geq R_1$ implica $|Q(z)|\geq 1/2$ . Así, para $|z|\geq R_1$ tenemos
$$|P(z)|=|a_0||z|^n| Q(z)|\geq \frac 1 2 |a_0||z|^n$$
De esto se desprende que podemos hacer $|P(z)|>A$ tomando $|z|>R$ donde
$$R=\max\left\{R_1,\left(\frac{2A}{|a_0|}\right)^{1/n}\right\}$$
Lema 2 Si $P$ es un polinomio de grado $\geq 1$ y $P(z_1)\neq 0$ , dado $\delta_0 >0$ hay un $z_2$ tal que $|z_1-z_2|<\delta$ y $|P(z_2)|<|P(z_1|$
Prueba Considere el caso particular $P(0)=1$ . Podemos entonces escribir
$$P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+1$$
Ahora dejemos que $a_k$ por el primer coeficiente $a_0,\dots,a_{n-1}$ que es no evanescente. Entonces
$$P(z)=1+a_kz^k+\cdots a_nz^n$$ por lo que podemos escribir $$P(z)=1+a_k z^k(1+H(z))$$ donde $$H(z)=\frac{a_{k-1}}{a_k}z+\cdots+^\frac{a_0}{a_k}z^{n-k}$$
Desde $H(0)=0$ por continuidad $|H(z)|<\frac 1 2 $ para cada $z$ con $|z|\leq \delta <\delta_0$ , donde $\delta$ es tal que $\delta^k|a_k|<1$ . Elegimos $z_2$ como solución de
$$z^k=-\delta^k\frac{|a_k|}{a_k}$$
Entonces, claramente $|z_2|=\delta$ y $$|P(z_2)|=|1-\delta^k|a_k|-\delta^k|a_k||H(z_2)||\\ \leq 1-\delta^k|a_k|+\delta^k|a_k||H(z_2)|\\ \leq 1-\delta^k|a_k|+\frac 1 2\delta^k|a_k|<1$$ que es lo que queríamos.
En el caso general de que $P(z_0)\neq 0$ escribimos $P(z)=\sum a_k z^k$ como $P(z)=\sum b_k(z-z_0)^k$ y nota que $P(z)=b_n P_1(z)$ con $P_1(0)=1$ así que nos beneficiamos de lo que hicimos antes.
Por último, la prueba
PROOF Desde $P$ es continua por lo que es $|P|$ y $|P|\geq 0$ . Así pues, el conjunto $\alpha =\inf_{z\in \Bbb C}|P(z)|$ . Dado que podemos tomar, a partir del primer lema, un $R$ tal que $|P(z)|\geq \alpha +1$ podemos descartar la región $|z|> R$ y escribir $$\alpha =\inf_{|z|\leq R}|P(z)|$$ Por la continuidad de $|P|$ y la compacidad del disco $K=\{z:|z|\leq R\}$ el teorema de Weierstrass afirma que para algunos $z_1$ tenemos $|P(z_1)|=\alpha$ . Desde $|P(z_1)|=\alpha<\alpha+1$ , $z_1$ es un punto interior del disco $K$ De ahí que haya algunos $\delta_0$ - bola a su alrededor. Si $\alpha \neq 0$ el segundo lema implica que podemos tomar alguna $z_2$ con $|z_1-z_2|<\delta_0$ y $|P(z_2)|<\alpha$ al contrario que $\alpha$ siendo el ínfimo, por lo que $|P(z_1)|=\alpha=0$ , lo que implica $P(z_1)=0$ y se demuestra el teorema.
¿Alguien sabe dónde apareció esta prueba por primera vez? ¿Quién la produjo? Ya la he visto en "Calculus" de Spivak y en "Elementary Real and Complex Analysis" de E.G. Shilov.
