Encontrar una matriz dada sus valores propios y autovectores.

Question

Se me pide construir una matriz simétrica de $4 \times 4$, con valores y vectores propios dados. Entiendo cómo obtener realmente $A$ como un producto de $P^T, D$ y $P$, cuando $D$ es la matriz diagonal, y $P$ es una matriz con los vectores propios como columnas.

El problema es que solo se dan tres vectores propios, junto con tres valores propios (uno se repite), así que mi pregunta es, ¿cómo se construye una matriz de $4 \times 4$ con tres vectores propios?

Para más información aquí está la pregunta real:

Sea $A$ una matriz simétrica de $4 \times 4$ con entradas reales cuyos valores propios son $1$ y $2$. Si $(1, 0, 0, 1)$, $(0, 1, 1, 0)$ es una base para el espacio propio del valor propio $-1$ y $(1, 0, 0, 1)$ es un vector propio de $A$ con valor propio $2$, encuentra la matriz $A$.

Gracias.

Answer 1

Considere el producto punto usual $$ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \cdot (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}) = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} + x_{4} y_{4}. $$ Entonces es fácil ver que $A$ es simétrica si y solo si para todo $x, y$ $$ x A \cdot y = x \cdot y A. $$ (simplemente tome $x = e_{i}, y = e_{j}$, donde $e_{i}$ es el vector que es todo ceros excepto por un $1$ en la posición $i$-ésima).

Ahora demuestre que si $x$ es un eigenvector con respecto a $\lambda$, $y$ es un eigenvector con respecto a $\mu$ y $\lambda \neq \mu$, entonces $x, y$ son ortogonales: $$ \lambda (x \cdot y) = (\lambda x) \cdot y = x A \cdot y = x \cdot y A = x \cdot (\mu y) = \mu (x \cdot y) $$ y $\lambda \neq \mu$ implica $x \cdot y = 0$.

Por lo tanto, en su caso, el eigenvector faltante $v$ relativo al eigenvalor $2$ debe ser ortogonal tanto a $(1, 0, 0, 1)$ como a $(0, 1, 1, 0)$. Es fácil comprobar que esto significa $$ v = (a, b, -b, a) = a (1, 0, 0, 1) + b (0, 1, -1, 0), $$ para algunos $a, b$.