Minimizar$\int_0^1 A(x)dx$ dado$\int_0^1 \frac{dx}{A(x)}\le \text{constant}$

Question

El siguiente problema se deriva de un elemento Finito problema.

Tenemos un rayo que es objeto de tot una constante de fuerza axial. Con la pérdida de la generalidad de la viga puede tener una variable área de la sección $A(x)$. El rayo no puede superar un determinado valor de tensión, es decir, no se puede acortar por más de un determinado porcentaje. Queremos que el haz de estar con el menor volumen posible.

No tengo idea de cómo abordar el siguiente problema de optimización. Deje $Volume=\int_a^bA(x)dx$. La restricción está dada por $\int_a^b \frac{1}{A(x)}dx\leq const$.

Por lo tanto: $$\min_{A} \{Volume\} \\S.T. \int_a^b \frac{1}{A(x)}dx\leq const$$

• ¿Cómo abordar un problema, si es posible?
• Si no, hay alguna forma de solucionar esto, dada la relajación de $A(x)$ ser una función polinómica inferior a 4 (momento de inercia) grado?

Answer 1

Este no es un enfoque general, pero que le llevará a la respuesta final rápidamente.

Vamos a decir $\int_a^b \frac{dx}{A} \le K$ para algunas constante dada $K$, luego por Cauchy Schwarz

$$K \int_a^b A(x) dx \ge \int_a^b \frac{dx}{A(x)} \int_a^b A(x) dx \stackrel{CS}{\ge} \left(\int_a^b dx\right)^2 = (b-a)^2$$ Esto conduce a la siguiente límite inferior de la integral de la $$\int_a^b A(x) dx \ge \frac{(b-a)^2}{K}$$ Desde este límite inferior se logra mediante la función constante $A(x) = \frac{b-a}{K}$, el volumen mínimo es $\frac{(b-a)^2}{K}$.

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Para un enfoque general, es necesario establecer esto como un cálculo de la variación problema con la restricción. El constrainted Lagrange tiene la forma

$$\mathcal{L}(x) = A(x) + \lambda\left(\frac{1}{A(x)} - k\right)$$ se desconoce constante $\lambda$ e $k$.

De proceder a resolver los asociados de Euler-Lagrange ecuación

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A'}\right) = 0$$ En este caso, el-ecuación nos dicen

$$1 - \frac{\lambda}{A(x)^2} = 0$$ Esto significa que la solución que minimiza el funcional $\int_a^b A(x) dx$ sujeto a la restricción $\int_a^b \left( \frac{1}{A(x)} - k\right) dx = 0$ es probablemente una función constante. Finalmente, es necesario comprobar mediante la elección adecuada del valor de la constante de $A(x)$, obtendrá el mínimo real.

Para hacer este preciso, es probable que tome uno o dos capítulos de un libro. Me voy a detener aquí.

Answer 2

Primero voy a mostrar que cualquier valor mínimo de la integral que usted está considerando puede ser alcanzado por una función constante $A(x).$ a Continuación, una vez que asuma $A(x)$ es constante, la respuesta cae en su regazo.

Por el bien de la simplicidad, asumiremos que estamos integrando en el intervalo de $[0,1]$ en lugar de $[a,b]$. Voy a suponer también que $A(x)\le 1$ para todos los $x\in [0,1]$, que creo que es una suposición razonable, porque "las vigas" son generalmente más largos de lo que son gruesas.

Así que, para volver a formular la pregunta, queremos encontrar una función de $A(x)$ que minimiza $$I=\int_0^1 A(x)dx$$ con la restricción de que $$\int_0^1 \frac{dx}{A(x)}\le C$$ donde $C$ es alguna constante dada.

Para resolver este problema, vamos a hacer uso de la siguiente hecho, que puede ser verificada mediante la integración por sustitución: si $f$ es una función integrable en $[0,1]$, luego $$\int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 \frac{f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})}{2}dx$$ Ahora supongamos que $A_m(x)$ es un "bien portados", función que minimiza $I$. Entonces, por encima de identidad, $I$ toma el mismo valor si se utiliza la función $$\frac{A_m(\frac{x}{2})+A_m(\frac{x+1}{2})}{2}$$ en su lugar. Además, observe que $$A_m(x)\le 1 \implies \frac{2}{A_m(\frac{x}{2})+A_m(\frac{x+1}{2})}\le \frac{1}{2} \bigg(\frac{1}{A_m(\frac{x}{2})}+\frac{1}{A_m(\frac{x+1}{2})}\bigg)$$ Lo que implica que $$\int_0^1 \frac{2dx}{A_m(\frac{x}{2})+A_m(\frac{x+1}{2})}\le \int_0^1 \frac{dx}{A_m(x)}\le C$$ Esto es todo lo que necesitamos! Esto demuestra que si $A_m(x)$ es una "minimización de la función, entonces la función $$\frac{A_m(\frac{x}{2})+A_m(\frac{x+1}{2})}{2}$$ es también una "minimización de la función". Si repetimos el mismo proceso con esta función, vemos que $$\frac{A_m(\frac{x}{4})+A_m(\frac{x+1}{4})+A_m(\frac{x+2}{4})+A_m(\frac{x+3}{4})}{4}$$ es también una "minimización de la función". De hecho, la repetición de este proceso infinitamente muchas veces muestra que la función constante función $$\int_0^1 A_m(t)dt$$ es también una "minimización de la función". Esto demuestra que para cualquier función que minimiza la integral dada, existe una función constante que también minimiza; por esta razón, usted puede asumir que su función $A(x)$ es constante.

Así que vamos a $A(x)=A$ ser constante. Entonces tenemos $$\int_0^1 \frac{dx}{A}=\frac{1}{A}\le C$$ y por lo $A\ge 1/C$, lo que implica que $I\ge 1/C$ e $I=1/C$ es el mínimo valor de su integral. Hecho!