Límite $\lim_{(x, y) \to (0, \infty)} (xy)$

Question

$$\lim_{(x,y) \to (0, \infty)} (xy) = [x\to\frac{1}{x}\Rightarrow x\to \infty] = \lim_{(x,y)\to(\infty, \infty)} (\frac{y}{x}) = [x = r\cos\theta, y = r\sin\theta] = \lim_{r\to\infty}\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta} =\lim_{r\to\infty}\tan\theta$$

Por lo tanto, el límite no existe. ¿Es viable aquí la sustitución en el principio?

Answer 1

La mejor manera de decir las cosas es esta : $\lim_{(x,y) \to (0,\infty)} xy$ existe y es igual a $L$ si y sólo si para cada subsecuencia $x_n \to 0$ y $y_n \to \infty$ tenemos $x_ny_n \to L$ donde esta última es la convergencia de una secuencia, en cuyo caso tenemos la $\epsilon-N$ definición de convergencia.

Por supuesto, uno ve que tomar $x_n = \frac 1n$ y $y_n = kn$ para cualquier $k \in \mathbb R_{> 0}$ tenemos $x_n \to 0$ , $y_n \to \infty$ y $x_ny_n \to k$ . Por lo tanto, el límite en cuestión no existe, ya que diferentes elecciones de subsecuencias dan diferentes valores límite.

---

En cuanto a lo que has hecho, lamentablemente como $x \to 0$ no es cierto que $\frac 1x$ va a $\infty$ ya que $x$ puede acercarse $0$ desde abajo, en cuyo caso $\frac 1x$ asume valores negativos y no puede converger a ningún valor positivo, y mucho menos al infinito positivo.

Además, la parte en la que se establece $(x,y) = (r \cos \theta,r \sin \theta)$ : La cuestión es que el cambio de variable en los límites sólo funciona en determinadas situaciones. En particular, dado que la variable $\theta$ no tiene ningún límite particular, ya que $(x,y) \to (0,\infty)$ No creo que este cambio de variable sea correcto.

Answer 2

Más sencillamente tenemos que como $t\to \infty$

• $x=\frac1t\to 0 \quad y=t\to \infty$

$$xy=\frac1t \cdot t \to 1$$

• $x=\frac1t\to 0 \quad y=t^2\to \infty$

$$xy=\frac1t \cdot t^2=t \to \infty$$

y por lo tanto el límite no existe.