Estoy leyendo ALGEBRA de Paolo Aluffi , Capítulo 0.
Aquí él propone que hay un tema espinoso:
¿Qué es este tema espinoso?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
markedup
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El no-vacío de este conjunto no puede ser deducido a partir de la costumbre de nueve axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. En su lugar, debe ser postulado como un axioma independiente, el axioma de elección. Algunos (pero en estos días que son muy pocas) personas que no les gusta asumir el axioma de elección en cuanto a la matemática, debido a que tiene algo contra-intuitivo consecuencias (pero omitiendo lo hace, también!).
user27515
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Como Aluffi insinúa, el espinoso problema es que la nonemptiness del producto Cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos es equivalente al Axioma de Elección. Hay situaciones en las que el Axioma de Elección no es necesario probar que el producto Cartesiano es no vacío:
- para finito de estas familias (lo que significa que $\mathscr{S}$ es finito);
- si la unión de $\bigcup_{S \in \mathscr{S}} S$ es bien ordenado;
- más generalmente, si un elemento único de cada una de las $S \in \mathscr{S}$ puede ser descrito de una manera uniforme (por ejemplo, si cada una de las $S \in \mathscr{S}$ es un conjunto finito de reales, por lo que "el mínimo elemento de $S$" es una definición de un único elemento de cada una de las $S$);
Sin embargo, puede suceder (si la Opción no) que $S_n$ es no vacío y finito (incluso de cardinalidad $2$) para cada una de las $n \in \mathbb{N}$, sin embargo, $\prod_{n} S_n$ está vacía.
Creo que no tengo demasiado que decir al declarar que la gran mayoría de los matemáticos se acepta hoy el Axioma de Elección, ya que tiene muchas útil consecuencias o equivalentes (por ejemplo, cada espacio vectorial tiene una base, cardinalidades de los conjuntos son siempre comparables, el producto de espacios compactos es compacto) y por sí mismo no puede agregar contradicciones de la teoría de conjuntos (si ZFC es inconsistente, entonces también lo es ZF).
Para obtener más información, considerar el mirar en cualquier número de respuestas por Asaf, a partir de esta lista de preguntas.
La suposición de que el producto de la no-vacía de conjuntos no vacíos se conoce como el axioma de elección (tenga en cuenta que cada función en el producto es una función de elección, por lo que la afirmación de que el producto no está vacío es exactamente la afirmación de que hay una función de elección).
El axioma de elección tiene una gran variedad de consecuencias contrarias al sentido común, como el de Banach-Tarski paradoja, por ejemplo. Ha habido algunos problemas con el axioma de elección cuando se fue propuesto por primera vez, pero con el tiempo se ha demostrado que los nuevos no hay contradicciones se agregan, si asumimos, o si vamos a suponer que se produce un error. Desde entonces una gran cantidad de matemáticos en lugar de simplemente asumir que para domesticar el camino infinito se comportan los objetos.
Si la colección de $\ell$ es finito, entonces podemos demostrar que el producto no está vacía sin el axioma de elección. Sin embargo, si la colección en sí es infinito, entonces tenemos el axioma de elección para la prueba. Por supuesto, hay algunas colecciones que podemos llegar a tener no vacío de productos sin el axioma de elección, por ejemplo, una colección de singleton, o finito de conjuntos de números reales, pero en general se necesita el axioma de elección.
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