Contar secuencias utilizando los números catalanes

Question

Contar el número de secuencias $a_{1},...,a_{2015}$ tal que:

$a_{i}\in \{-1,1\}$ y $\sum _{i=1} ^ {2015} a_{i}=7$ y $\sum _{i=1} ^{j} a_i >0$ por cada $1\leq j\leq 2015$

Supongo que hay que utilizar los números catalanes de alguna manera.

Está claro que el número de $1$ 's = número de $-1$ 's $+7$ . De la tercera condición también se desprende que la secuencia debe empezar por $1$ . Más allá de eso, no veo cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Utiliza el principio de reflexión. Claramente $a_1 = 1$ por lo que podemos contar en su lugar el número de caminos $a_1,\ldots,a_{2014}$ que suman $6$ cuyas sumas parciales son siempre no negativas. Utilizando la principio de reflexión encontramos que el número de estos caminos es $$ \binom{2014}{1010} - \binom{2014}{1003}. $$ En general, si $2015$ se sustituye por $n+1$ y $7$ se sustituye por $t+1$ la respuesta es $$ \binom{n}{(n+t)/2} - \binom{n}{(n-t)/2-1} = \\ \binom{n}{(n+t)/2} - \binom{n}{(n+t)/2+1} = \\ \binom{n}{(n+t)/2} \left(1 - \frac{(n-t)/2}{(n+t)/2+1} \right) = \\ \frac{t+1}{(n+t)/2+1} \binom{n}{(n+t)/2}. $$

Answer 2

Usando tu idea de "una secuencia equilibrada y una elección de dónde poner siete 1s" obtenemos lo siguiente: $$\sum_{i_1 + \cdots + i_7 = 1004} C_{i_1} \cdots C_{i_6}$$

donde $i_1,\dotsc,i_6 \geq 0$ (son seis porque estamos obligados a poner el primero en la posición uno, como has apuntado). Es una suma superior a $997 \choose 5$ términos, sin embargo.