Si$a+b+c = 3$ muestra$9 + 3 \sum_{\mbox{cyc}}a\cos\left( \frac{2b}{c}\right)\geq 2\left( \sum_{\mbox{cyc}}a\cos\left( \frac{b}{c}\right) \right)^2$

Question

Si $a, b, c$ son positivas, y $a+b+c = 3$ mostrar $$ 9 + 3 \sum_{\mbox{cyc}}\cos\left( \frac{2b}{c}\right)\geq 2\left( \sum_{\mbox{cyc}}\cos\left( \frac{b}{c}\right) \right)^2 $$

Este es otro de los cíclico simétrico de las desigualdades en tres positivo de las variables, con cíclico simétrico de restricciones, sino que tiene una peculiaridad: La desigualdad puede ser saturada (la igualdad tiene) a $a=b=c=1$, pero también puede ser saturada en otros valores de $a,b,c$.

No me llego esto a partir de un concurso problema, pero podría hacer una buena a moderada habilidad de alto nivel de la escuela.

Answer 1

Lo sabemos $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$

PS

PS

Y usando Cauchy-Schwarz

PS

Asi que,

PS