La velocidad de convergencia de $ \frac1n\int_0 ^1 f(x/n)dx \to0 $ ?

Question

Deje que $f \in L^2(0,1)$ esto implica que $$ \frac1n\left | \int_0 ^1 f(x/n) dx\, \right | = \left | \int_0 ^{1/n} f(x) dx\, \right |= \left | \langle \chi_ {[0,1/n]}, f \rangle_ {L^2} \right |≤\| \chi_ {[0,1/n]}\|_{L^2} \cdot \|f\|_{L_2}= \frac {\|f\|_{L^2}}{ \sqrt {n}}$$

Mi pregunta es si hay un mejor límite en la velocidad de convergencia que un $ \frac1 { \sqrt n}$ factor.

Pregunto porque jugar con diferentes $f$ parece que $$ \sum_n \frac1 {n^2} \left | \int_0 ^1 f(x/n) dx\, \right |^2$$ siempre es sumable, y me gustaría encontrar un límite como $ \sum_n\frac1 {n^2} \left | \int_0 ^1 f(x/n)\, dx \right |^2≤M\|f\|_{L^2}^2$ .

Answer 1

¡Este argumento tiene una gran deuda con los comentarios de Daniel Fischer y D. Thomine!

Creo que el siguiente argumento funciona. Asumiré $f$ es de valor real para evitar muchos signos de conjugación. \begin {alineado*} \sum_ {n=1}^ \infty \frac1 {n^2} \bigg ( \int_0 1 f(x/n) \N - dx, \bigg )^2 &= \sum_ {n=1}^ \infty \bigg ( \int_0 ^{1/n} f(x) \ ~ - dx \bigg )^2 \\ &= \sum_ {n=1}^ \infty \int_0 ^{1/n} \int_0 ^{1/n} f(x) f(y) \N \N - dx\N - dy \\ &= \int_0 ^1 \int_0 ^1 f(x) f(y) \bigg ( \sum_ { \substack {n \ge 1 \\ 1/n \ge x \\ 1/n \ge y}} 1 \bigg ) \ ~ - dx, dy, dy \\ &= \int_0 ^1 \int_0 ^1 f(x) f(y) \min\ { \lfloor 1/x \rfloor , \lfloor 1/y \rfloor\ } \ ~ - dx, dy, dy \\ &= 2 \int_0 ^1 \int_0 ^y f(x) f(y) \lfloor 1/y \rfloor \ ~ - dx, dy, dy \\ & \le 2 \int_0 ^1 f(y) \frac1y \int_0 y f(x), dx, dy \\ &=2 \int_0 1 f(y) g(y) \N - dy, \end {alineado*} donde hemos definido $g(y) = \frac1y \int_0 ^y f(x) \,dx$ . La desigualdad de Hardy nos dice que $g$ es cuadrada e integrable y $\|g\|_2 \le 2\|f\|_2$ . Por lo tanto, por Cauchy-Schwarz, \begin {alineado*} \sum_ {n=1}^ \infty \frac1 {n^2} \bigg ( \int_0 1 f(x/n) \N - dx, \bigg )^2 & \le 2 \ ~ - 2 \ ~ - g \le 4\|f\|_2^2. \end {alineado*}