¿Por qué este mapa es una traducción?

Question

Deje que$\Gamma$ sea un subgrupo de congruencia,$s$ sea una cúspide de$\Gamma$,$\sigma \in SL_{2}(\mathbb{Z})$ sea el mapa que envía$\infty$ a$s$, y$\Gamma_{s} = \{\gamma \in \Gamma \mid \gamma(s) = s\}$. Si permitimos que$\Gamma$ actúe en la mitad superior del plano de la forma habitual, ¿por qué cada$\rho \in \sigma^{-1}\Gamma_{s}\sigma$ debe ser una traducción de algún$h_{1}$?

Answer 1

Cada elemento de$\sigma^{-1} \Gamma_s \sigma$ es en particular una transformación de Möbius$\rho : z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ que corrige$\infty$. De ello se deduce que$c = 0$ (de lo contrario,$\rho(\infty) = \frac{a}{c}$ es finito). Ahora, como además sabemos que todo está en$\text{SL}_2(\mathbb{Z})$, sabemos que$ad = 1$, así que$a = d = \pm 1$. Entonces$\rho : z \mapsto z \pm b$ es una traducción que se desea.