Resolver

Question

Pregunta: Resuelva$\sin(3x)=\cos(2x)$ para$0≤x≤2\pi$.

Mi conocimiento sobre el tema; Conozco las identidades generales, las fórmulas de ángulo compuesto y las fórmulas de ángulo doble, así que solo puedo aplicarlas.

Con eso en mente

\begin{align} \cos(2x)=&~ \sin(3x)\\ \cos(2x)=&~ \sin(2x+x) \\ \cos(2x)=&~ \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x)\\ \cos(2x)=&~ 2\sin(x)\cos(x)\cos(x) + \big(1-2\sin^2(x)\big)\sin(x)\\ \cos(2x)=&~ 2\sin(x)\cos^2(x) + \sin(x) - 2\sin^2(x)\\ \cos(2x)=&~ 2\sin(x)\big(1-\sin^2(x)\big)+\sin(x)-2\sin^2(x)\\ \cos(2x)=&~ 2\sin(x) - 2\sin^3(x) + \sin(x)- 2 \sin^2(x)\\ \end {align} editar

\begin{gather} 2\sin(x) - 2\sin^3(x) + \sin(x)- 2 \sin^2(x) = 1-2\sin^2(x) \\ 2\sin^3(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 \end{reunir}

Este es un derecho cúbico?

Asi que $u = \sin(x)$,

\begin{gather} 2u^3 - 3u + 1 = 0 \\ (2u^2 + 2u - 1)(u-1) = 0 \end{reunir}

¿Estoy en el camino correcto?
Aquí es donde estoy atascado, ¿qué debo hacer ahora?

Answer 1

Use$\sin 3x=3 \sin x - 4 \sin^3x$ y$\cos 2x=1-2\sin^2x$. Para obtener$$3 \sin x - 4 \sin^3x=1-2\sin^2x.$ $ ahora llame a$\sin x=t$. Por lo tanto, tenemos$$4t^3-2t^2-3t+1=0.$ $ Observe que$t=1$ es definitivamente una solución, así que tenemos$$(t-1)(4t^2+2t-1)=0.$ $ El factor cuadrático será cero para$$t=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$ $ Espero que pueda resolverlo desde aquí .

Answer 2

PS

$$\cos2x=\sin3x=\cos\left(\dfrac\pi2-3x\right)$$$\iff2x=2m\pi\pm\left(\dfrac\pi2-3x\right)$ m $ es cualquier número entero

Alternativamente,$ where $ $

$$\sin3x=\cos2x=\sin\left(\dfrac\pi2-2x\right)$$$3x=n\pi+(-1)^n\left(\dfrac\pi2-2x\right)$ n $ es cualquier entero

Answer 3

Has cometido algunos errores en tus cálculos (o algunos errores tipográficos aquí).

PS

PS

PS

PS

PS

PS

PS

PS

Entonces recuerda que$$\sin(3x)=\cos(2x)$ para dar:

PS

Este es un cúbico en$$ \sin(2x+x) = \cos(2x)$. Para simplificar, escriba$$\sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)sin(x) = \cos(2x) $ para obtener:

PS

PS

Entonces$$ 2\sin(x)\cos(x)\cos(x) + (1-2\sin^2(x))\sin(x)) = \cos(2x) $ o$$ 2\sin(x)\cos^2(x) + \sin(x) - 2\sin^{\bf{3}}(x) = \cos(2x) $

Entonces$$ 2\sin(x)(1-\sin^2(x))+\sin(x)-2\sin^{\bf{3}}(x)=\cos(2x) $ o$$ 2\sin(x) - 2\sin^3(x) + \sin(x)- 2 \sin^{\bf{3}}(x) = \cos(2x) $,$$3\sin(x)-4\sin^3(x)=\cos(2x)$,$\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$,$$3\sin(x)-4\sin^3(x)=1-2\sin^2(x)$