Dejemos que $p$ sea un primo de la forma $3k+2$ que divide $a^2+ab+b^2$ para algunos enteros $a,b$ . Demostrar que $a,b$ son ambos divisibles por $p$ .

Question

Dejemos que $p$ sea un primo de la forma $3k+2$ que divide $a^2+ab+b^2$ para algunos enteros $a,b$ . Demostrar que $a,b$ son ambos divisibles por $p$ .

Mi intento:

$p\mid a^2+ab+b^2 \implies p\mid (a-b)(a^2+ab+b^2)\implies p\mid a^3-b^3$
Así que tenemos, $a^{3k}\equiv b^{3k}\mod p$ y por el Teorema de Fermat tenemos, $a^{3k+1}\equiv b^{3k+1}\mod p$ como $p$ es de la forma $p=3k+2$ .

No sé qué hacer a continuación. Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

Utiliza la reciprocidad cuadrática.

$$4(a^2+ab+b^2)=(2a+b)^2+3b^2$$

por lo que si $$a^2+ab+b^2\equiv 0 \pmod p$$ entonces $$(2a+b)^2\equiv -3b^2 \pmod p$$ y $-3$ es un residuo cuadrático por lo que

$$\left(\frac{-3}{p}\right)=1.$$ Sin embargo, por reciprocidad,

$$\left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{p}{-3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=-1$$

Answer 2

Ha demostrado que $a^3 \equiv b^3 \pmod p$ . Obsérvese que $(3, p-1)=1$ porque $p=3k+2$ . Por lo tanto, podemos escribir $3m + (p-1)n = 1$ para algunos enteros $m, n$ . Utilice esto para demostrar que $a\equiv b \pmod p$ para que $a^2+ab+b^2 \equiv 3a^2 \equiv 3b^2 \equiv 0 \pmod p$ y concluir a partir de ahí.

( P.D. Tengo que elogiarte por publicar tu trabajo).