¿Podemos determinar si$f\in L^{p}$ o no? si conocemos$\hat{f}$

Question

Deje $a_{n}:=\frac{1}{n}$ todos los $n\in \mathbb Z\setminus \{0\}$ $a_{0}= c$ donde $c$ es una constante.

Claramente, $a_{n}\in \ell^{2}(\mathbb Z)$, $\sum_{n\in \mathbb Z} |a_{n}|^{2}< \infty.$

Definimos la función $$f(t):= \sum_{n\in \mathbb Z} a_{n} e^{int}, (e^{it}\in \mathbb T, \ t\in \mathbb R)$$

Por el Riesz-Fischer teorema, se deduce que el $f\in L^{2}(\mathbb T).$ tomamos nota también de que el $L^{p}(\mathbb T) \subset L^{2}(\mathbb T), (p>2).$

Mi Pregunta: (1) Es cierto que $f\in L^{p}(\mathbb T), (p>2)$?

(2) Si conocemos $\hat{f} \in \ell^{2}(\mathbb Z);$ en que situación se puede esperar de la $f\in L^{p}(\mathbb T)(p>2)$? (Por supuesto, en general, uno no puede esperar, por ejemplo, existen $f\in L^{2}$ que no está en $L^{p}$)

Answer 1

Desde$\hat{f}\in\ell^1\implies f\in L^\infty$ y$\hat{f}\in\ell^2\implies f\in L^2$, la interpolación de Riesz-Thorin garantiza que

Si$\hat{f}\in\ell^q$ donde$\frac1p+\frac1q=1$ y$1\le q\le2$, entonces$f\in L^p$

Por lo tanto, dado que el$\hat{f}$ que da arriba está en$\ell^q$ para todos$q\gt1$, tenemos ese$f\in L^p(\mathbb{T})$ para todos$p\lt\infty$. Sin embargo, puede que no esté en$L^\infty(\mathbb{T})$. De hecho no lo hará ya que la serie para$f(0)$ diverge.