Aproximación de la función Seno cerca de $0$

Question

¿Cuál es la razón por la que para $x<0.5$ , $\sin(x)\approx x$ ?

¿Se conocen más propiedades de este tipo para otras funciones trigonométricas?

Answer 1

Para ver que $\sin(x) \approx x$ para los pequeños $x$ todo lo que tienes que hacer (sin usar la serie de Taylor) es mirar el gráfico:

Puedes ver que $\sin x = x$ cuando $x = 0$ y como el gradiente de la gráfica es aproximadamente 1 para $-0.5<x<0.5$ , $\sin x$ aumenta aproximadamente al mismo ritmo que $x$ hace. Esto lleva al resultado de que $\sin x \approx x$ para $-0.5<x<0.5$ . Para otras propiedades trigonométricas como ésta, véase esto:

$\cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}$

$\tan x \approx x$

Answer 2

Usted tiene $\sin x= x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots$ y para los pequeños $x$ sólo el primer término es significativo.

Expresiones similares para los pequeños $x$ son $\cos x \approx 1- \dfrac{x^2}{2}$ y $\tan x \approx x$ .

Answer 3

Piensa en la interpretación geométrica de $\sin\theta$ y $\theta$ (el que utiliza el círculo de la unidad). $\sin\theta$ es la longitud en línea recta desde $(\cos\theta,\sin\theta)$ a la $x$ -eje. $\theta$ es el longitud de la curva a lo largo del círculo desde ese punto hasta el $x$ -eje. Cuando $\theta$ es pequeño, estamos considerando una pequeña sección del círculo, y una sección muy pequeña de cualquier curva suave se parece a una línea.