Probabilidad de salir de un área circular

Question

Un avión se está moviendo (en línea recta) dentro de un círculo de radio $R$ con velocidad constante $V$ por $t$ segundos. Puede comenzar en cualquier lugar dentro del círculo y moverse en cualquier dirección (distribuciones uniformes). ¿Cuál es la probabilidad de que salga del círculo (en función de $V$, $t$ y $R$)?

Answer 1

Simplifiquemos el problema y reduzcámoslo a sus propiedades fundamentales. Dejemos que el radio del círculo "envolvente" original sea $1$, y que la distancia de vuelo (lineal) sea $vt = r$. Nuestro problema puede ser caracterizado completamente por el valor de $r$.

Si $r > 2$, entonces cada avión escapa del círculo envolvente, sin importar su punto de despegue; la probabilidad de escape es por lo tanto $P_{r>2} = 1$.

Aquí hay una figura que ilustra un caso más general para un dado $r < 1$. Si el punto de despegue del avión está dentro del anillo de radio interno $1-r$, entonces el avión nunca escapará, independientemente de su dirección de vuelo. Esto se muestra con el núcleo blanco del disco. La probabilidad de que el avión no escape es la razón de la región interior (blanca) del disco dividida por el área del disco envolvente, es decir, $P = {\pi r^2 \over \pi 1^2} = r^2$. Pero por supuesto, esa no es la solución final. Debemos calcular la probabilidad de que si el punto de despegue del avión está en el anillo rosa, escape.

Ahora veamos el caso más interesante:

Aquí $x$ es la distancia del punto de despegue desde el centro del disco envolvente (en cualquier dirección). El avión aterrizará en algún lugar a lo largo del perímetro del disco verde. La longitud (unidimensional) del arco morado dividida por la circunferencia total del disco verde es la probabilidad de que el avión aterrice fuera del disco envolvente. Esto, a su vez, depende del ángulo $\theta$, como se muestra.

Utilizamos la ley de los cosenos para el triángulo punteado, que tiene lados de longitud conocida:

$$1^2 = x^2 + r^2 - 2 x r \cos (\theta),$$

o

$$\theta = \arccos \left( {x^2 + r^2 - 1 \over 2 x r} \right).$$

La probabilidad de que el avión aterrice dentro del disco envolvente es $P = \theta/\pi$, y por lo tanto la probabilidad de que el avión aterrice fuera es $1 - \theta/\pi$.

Ahora debemos integrar todos los posibles valores de $x$, como:

$$\int\limits_{x=1 - 2 r}^1 2 \pi x\ {1 \over \pi} \arccos \left( {x^2 + r^2 - 1 \over 2 x r} \right) \ dx$$

Luego se realiza esta integral, se recopilan términos y se simplifica.

Answer 2

Denota el centro de nuestro círculo $A$, el disco delimitado por él $D(A, R)$ y el vector de velocidad por $\vec{V}$. Sabemos que $|\vec{V}| = V$. Finalmente, denota el evento de que nuestro avión sale del círculo $L$.

La observación clave es que el lugar geométrico de los puntos de partida tales que el avión no sale de $D$ es congruente para cualquier dirección posible: nuestro problema es simétrico con respecto a la dirección. Por lo tanto, $\mathbb{P}[L|\vec{V}] = \mathbb{P}[L]$, y podemos considerar la dirección fija.

Fijemos la dirección de $\vec{V}$ y encontremos este lugar geométrico. Define $f(x) = x + t\vec{V}$ como la función que, dado un punto de despegue, devuelve el lugar de aterrizaje del avión.

Sea $D_1 = \{x:f(x) \in D\}$ el conjunto de puntos, tanto dentro como fuera de $O$ tal, que el avión que parte desde ahí terminaría dentro de $D$. Entonces $D_1$ es también un disco con radio $R$ y centro $f^{-1}(A) = A - t\vec{V}$.

Por supuesto, el punto de partida del avión debe estar en $D$, por lo que debe estar en $D \cap D_1$.

Por lo tanto, la probabilidad de que nuestro avión salga de $D$ es igual a la probabilidad de que nuestro punto de partida esté en $D \cap D_1$.

La probabilidad de que un punto aleatorio esté dentro de una región es proporcional al área de esa región, por lo que necesitamos encontrar $\frac{\mathbb{A}(D \cap D_1)}{\mathbb{A}(D)}$ donde $\mathbb{A}$ denota área.

$\mathbb{A}(D \cap D_1)$ es el doble del área de un segmento circular.

Si $tV > 2R$ los discos no se intersecan, y la probabilidad de salir de $D$ es 1. Supongamos que $tV \leq 2R$.

Nuestro ángulo central es $\theta = 2\arccos(\frac{tV}{2R})$, entonces $\sin(\theta) = \frac{tV}{R}\sqrt{1 - \big(\frac{tv}{2R}\big)^2}$

Dado que tenemos dos segmentos, el área total de intersección es

$$\mathbb{A}(D \cap D_1) = R^2(\theta - \sin\theta)$$

Por lo tanto, la probabilidad de que el avión salga del círculo (denotemos este evento como $L$) es

$$\mathbb{P}[L] = 1 - \frac{\mathbb{A}(D \cap D_1)}{\pi R^2} = 1 - \frac{\theta - \sin(\theta)}{\pi} = 1 - \frac{2\arccos(\frac{tv}{2R}) - \frac{tV}{R}\sqrt{1 - \big(\frac{tV}{2R}\big)^2}}{\pi}$$

Answer 3

CONSEJO:

asumiendo $r=Vt < 2R$, y una vez que comienza no cambia de dirección.

elige un punto $c$ dentro del círculo como punto de partida del plano, dibuja un círculo de radio $r$, encuentra el ángulo del cordón $\theta$ de las intersecciones. La probabilidad de que el avión salga del círculo grande es $\frac{\theta}{2\pi}$.

En caso de que $r>2R$, no hay intersección, por lo que la probabilidad es 1.

Answer 4

Considere un círculo de radio $Vt$ con centro a una distancia r del centro del primer círculo, que tiene un radio R. La probabilidad de escape es 1 menos la razón entre el área de superposición entre los dos círculos y el área del segundo círculo.

Deje que el radio del círculo sea R. Deje que la distancia inicial desde el centro del círculo sea r. Deje que u=V=Velocidad y t=tiempo. $\theta$ es el ángulo del vector de velocidad con respecto al vector de desplazamiento desde el centro del círculo.

Por simetría, la probabilidad de escape es la misma para posiciones a la misma distancia del centro, por lo que la probabilidad es una función de r, $P(r)$.

La distancia final desde el centro es $d^2=r^2+u^2t^2-2rut\cos{\theta}$ y tenemos nuestros puntos de cruce en $d=R$.

Entonces: $$\cos{\theta}=\frac{r^2+u^2t^2-R^2}{2rut}$$

Resuelva para el rango de $\theta$ y divida por $2\pi$. Esto le dará P(r). Podemos aproximar con una Serie de Taylor:

$$1-\frac{\theta^2}{2}=\frac{r^2+u^2t^2-R^2}{2rut}$$

Entonces $\Delta \theta /2 \pi \approx \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{R^2-(r-ut)^2}{rut}}\approx P(r)$

$r$ puede tomar valores uniformemente de $r$ a $R$ dando una probabilidad de $\frac{2r}{R^2}$.

$$P\approx\int_0^R\frac{2r}{\pi R^2}\sqrt{\frac{R^2-(r-ut)^2}{rut}}dr$$