La prueba$a + b \le c $ implica$\log(a) + \log(b) \le 2\log(c) - 2$

Question

Tengo a prueba la siguiente declaración:

Suponga $a, b$ $c$ son números naturales que son diferentes de $0$. Si $a + b \le c $,$\log(a) + \log(b) \le 2\log(c) - 2$. Todos los $\log$ funciones son la segunda $\log$ funciones, por lo $\log2$.

He creado la siguiente prueba, pero no estoy seguro si es del todo correcto:

Debido a $a > 0$$b > 0$, podemos encontrar:

$a < c$ $b < c$

Por lo tanto:
$$\log(a) < \log(c) \Rightarrow \log(a) \le \log(c) - 1$$ y
$$\log(b) < \log(c) \Rightarrow \log(ab\le \log(c) - 1$$
Cuando añadimos estos $2$ expresiones, esto nos da: $$\log(a) + \log(b) \le 2\log(c) - 2$$
QED

Me pregunto si el paso $\log(a) < \log(c) \Rightarrow \log(a) \le \log(c) - 1$ es la correcta? Yo sé que es correcto para $a < b$ si y sólo si $a \le b - 1$, pero se hace esto, también corresponden a $\log$?

Answer 1

Comience desde$c \geq a+b$ así:

PS

Si puede demostrar que:$$2\log_2 c -2 \geq 2 \log_2(a+b)-2$ $ entonces ya está.

Esto es equivalente a:

$$2 \log_2(a+b)-2 \geq \log_2 a +\log_2 b$ $ o:

$$2^{2 \log_2(a+b)-2} \geq 2^{\log_2 a +\log_2 b}$$$\frac{1}{4} (a+b)^2 \geq ab$ 2 ^ {\ log x} = x $)

Pero esta última desigualdad es equivalente a:$ (note that I used the obvious fact that $ $, lo cual es cierto.

Answer 2

Insinuación

PS

Por lo tanto, si muestra que$$\log_2(ab)=\log_2 a+\log_2 b\le 2log_2 c-2=\log_2c^2-\log_2 4=\log_2 \frac{c^2}{4}.$ $ está listo.