Representación lineal de un grupo libre.

Question

Tengo que probar lo siguiente:
"Demostrar que el grupo libre de rango 2 es lineal."

Así que para mi mejor entendimiento, y por favor corríjanme si estoy mal: yo en realidad necesidad de mostrar un homomorphism de la libre grupo a algunos de los subgrupos de $GLn(\mathbb{F})$ (donde $\mathbb{F}$ es un campo).

Decir $a,b$ son gratuitos para grupos generadores, será el siguiente mapa de trabajo? $$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & s\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $a$b\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

donde $s,t$ son algunos de los elementos en $\mathbb{F}$.

Es allí una manera general para encontrar una representación lineal de un grupo, o es cuestión de ensayo y error?

Answer 1

No, su mapa no funcionará. Para ver esto, considere los poderes de la siguiente matriz (voy a dejar unir los puntos). $$ \left( \begin{array}{cc} 1&1\\0&1 \end{array} \right) $$ En su lugar, usted debe considerar los siguientes dos matrices. $$ \left( \begin{array}{cc} 1&2\\0&1 \end{array} \right)\& \left( \begin{array}{cc} 1&0\\2&1 \end{array} \right) $$ Para demostrar que forman un grupo de free puede utilizar el ping-pong lema. Para un trabajado, y muy legible, prueba usando (esencialmente) este método, véase John Meier del libro de los Gráficos, de los Grupos y de los Árboles, la Sección 3.1.3. La idea es considerar cómo estas matrices y sus inversas, de actuar en una coordenada $(a, b)$, y luego se extenderá a las regiones. Por último, se supone que no está vacío, la reducción de palabra $w$ es trivial y lo aplica a una región $X$, pero se ve que esto da lugar a una región diferente, $wX\neq X$, lo $w$ no puede ser trivial.

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Curiosamente, libre de grupos son más prevalentes en los lineales de los grupos. Esto es debido a la siguiente resultado de las Tetas.

Teorema (Tetas, 1972): Supongamos $G$ es lineal. Si $G$ no contiene un grupo libre, a continuación, $G$ es prácticamente soluble.

Un grupo es prácticamente soluble (soluble) si contiene un número finito de índice subgrupo que es soluble. Es relativamente sencillo ejercicio para demostrar que prácticamente solubles de los grupos no contienen gratis los grupos, y así Tetas' resultado puede ser interpretado como diciendo "lineal grupos contienen gratis grupos, a menos que, obviamente, no".