¿Cómo encontrar la raíz de la derivada de cualquier polinomio/ecuación?

Question

Dejemos que $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),\quad -\infty< x<\infty.$$ El número de raíces distintas de la ecuación $$\frac{d}{dx}f(x) = 0$$ ¿es exactamente?

Fuente.

El único método que conozco es multiplicar y luego encontrar la derivada de la función y luego aplicar el teorema de Sturm pero parece vago cuando tienes que resolver la pregunta en 3 a 5 minutos . Así que se pide que se sugiera un enfoque alternativo plausible.

Answer 1

La multiplicidad de cada una de las raíces de $f(x)$ es $1$ , lo que significa que la gráfica de la función de $f(x)$ cruza el $x$ -eje en esas raíces. Dibujando un croquis, resulta obvio que la derivada debe tener precisamente cuatro raíces reales.

Answer 2

$f(x)$ es un polinomio de grado 5, $f'(x)$ es uno de grado 4. Así que $f'$ tiene 4 ceros. Como los ceros de $f$ son distintos, no tiene ceros en común con $f'$ . Por el teorema del valor medio, tiene que haber un cero de $f'$ entre cada par de ceros consecutivos de $f$ es decir, hay al menos 4 ceros diferentes de $f'$ (puede haber varios entre ceros consecutivos, o unos fuera del rango de ceros de $f$ ). Pero como $f'$ es un cuártico, hay exactamente 4.

Answer 3

He aquí una alternativa al uso del Teorema de Rolle, que también puede hacerse en un par de minutos.

Dejemos que $x-3=u$ . Entonces el polinomio se convierte en

$$u(u^2-1)(u^2-4)=u(u^4-5u^2+4)=u^5-5u^3+4u$$

por lo que la derivada es

$$5u^4-15u^2+4$$

que es cuadrática en $u^2$ . Puedes hacerlo utilizando la fórmula cuadrática,

$$U=u^2={15\pm\sqrt{225-80}\over10}$$

por lo que simplemente observando que $5U^2-15U+4$ es claramente positivo para $U\le0$ y negativo en $U=1$ por lo que tiene dos raíces positivas distintas, por lo que la derivada cuaternaria tiene $4$ raíces reales, todas distintas.

He tardado más de cinco minutos en escribir esto, pero el trabajo de rascar y pensar me ha llevado menos de tres. La clave fue notar que un simple desplazamiento facilita la expansión del quintento factorizado.

Observación: Está claro que este enfoque sólo funciona porque las raíces de la quíntica están igualmente espaciadas. Si el problema comenzara, por ejemplo, con $(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)$ entonces el Teorema de Rolle sería su mejor opción. Aun así, es una alternativa útil para tener a mano; supongamos, por ejemplo, que la pregunta hubiera pedido el número de soluciones de $f'(x)=1$ . Intenta responder que ¡armado sólo con Rolle!

Answer 4

Piensa en la gráfica de la función: tendrá ceros en $x = 1, 2, 3, 4, 5$ y será distinto de cero en el medio (ya que $f(x) = 0$ requiere que uno de los factores de $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)$ es cero). Así que $f$ tendrá al menos un extremo local en cada uno de los intervalos $(1, 2), (2, 3), (3, 4)$ y $(4, 5)$ (uno puede ver esto intuitivamente y hacerlo riguroso usando el teorema del valor extremo ). Se puede hacer esto riguroso utilizando el teorema del valor medio .

Dado que el grado de $f'(x)$ serán cuatro (lo que puede verse escribiendo $f(x)$ como un polinomio y diferenciándolo), no tendrá más de cuatro ceros. Así que $f'$ debe tener exactamente cuatro ceros.