Mientras se prepara para mis exámenes, me encontré con la siguiente pregunta en un pasado de papel para que voy a obtener una respuesta diferente a lo que la pregunta dice que yo debería estar recibiendo, yo no puedo ver donde voy mal, o si lo que tengo es equivalente a la respuesta, pero sospecho que no lo es. (Nota: Esto no es para una tarea, es sólo algo más de la revisión que estoy haciendo para estar mejor preparados).
Pregunta: En el marco de laboratorio un electrón que viaja con una velocidad de $u$ choca con un positrón en el resto. Se aniquilan, produciendo dos fotones de frecuencias $ν_1$ $ν_2$ que mover fuera en ángulos $θ_1$$θ_2$$u$, en las direcciones de los vectores unitarios $e_1$ $e_2$ respectivamente. Considerando 4-momenta en el marco de laboratorio, o por el contrario, muestran que $\dfrac{1+\cos(\theta_1+\theta_2)}{\cos(\theta_1)+\cos(\theta_2)} = \sqrt{\dfrac{\gamma-1}{\gamma+1}}$ donde $\gamma$ es el factor de Lorentz para el electrón.
Aquí es lo que he conseguido hasta ahora:
Deje $m$ ser la masa de los positrones/elección. Considerar el marco en el que la elección es un principio de viajar en el eje de las x. Por la conservación de la 4-impulso: $$ m\gamma\pmatrix{c \\ u \\ 0 \\ 0} + m\pmatrix{c \\ 0 \\ 0 \\ 0} = \frac{h\nu_1}{c}\pmatrix{1 \\ \cos(\theta_1) \\ \sin(\theta_1) \\ 0} + \frac{h\nu_2}{c}\pmatrix{1 \\ \cos(\theta_2) \\ \sin(\theta_2) \\ 0}$$
La relación de la segunda y la primera de las líneas nos da: $$ \frac{\gamma u}{(1+\gamma)c} = \frac{\nu_1\cos(\theta_1)+\nu_2\cos(\theta_2)}{\nu_1+\nu_2}$$
Pero $ (\frac{\gamma u}{(1+\gamma)c})^2 = \frac{1}{(1+\gamma)^2}(\frac{\gamma u}{c})^2$ y $(\frac{\gamma u}{c})^2 = \gamma^2 u^2/c^2$ = $\frac{u^2/c^2}{1-u^2/c^2} = -1 + \frac{1}{1-u^2/c^2} = \gamma^2-1$. Por lo $(\frac{\gamma u}{(1+\gamma)c})^2 = \frac{\gamma^2-1}{(\gamma+1)^2} = \frac{\gamma-1}{\gamma+1}$. Por lo $\frac{\gamma u}{(1+\gamma)c} = \sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}}$. Por lo tanto tenemos:
$$ \sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}} = \frac{\nu_1\cos(\theta_1)+\nu_2\cos(\theta_2)}{\nu_1+\nu_2}$$
Ahora, la tercera línea en la Conservación de la 4-impulso ecuación nos dice: $\frac{h}{c}(\nu_1\sin(\theta_1)+\nu_2\sin(\theta_2)) = 0$ $\nu_2 = -\nu_1\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}$ (división por $0$ no es un problema aquí, ya que ello implica que la frecuencia de uno de los fotones se $0$).
Poniendo esto en nuestro resultado de antes (y cancelación de $\nu_1$ y simplificar):
$$ \sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}} = \frac{\nu_1\cos(\theta_1)-\nu_1\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}\cos(\theta_2)}{\nu_1-\nu_1\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}} = \frac{\cos(\theta_1)-\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}\cos(\theta_2)}{1-\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}} = \frac{\cos(\theta_1)\sin(\theta_2)-\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)}{\sin(\theta_2)-\sin(\theta_1)} = \frac{\sin(\theta_2-\theta_1)}{\sin(\theta_2)-\sin(\theta_1)}$$
Sin embargo, esto no es el resultado que se supone que prueban. Nadie puede ver a dónde me fue mal con esto?
Gracias de antemano.
