El haz de fibras M x M - diagonal

Question

Bajo qué condiciones para un espacio de $M$ hace el mapa de proyección para el primer factor $p: M \times M - \Delta \rightarrow M$ tiene el local de la trivialidad de la condición, es decir, es un haz de fibras? Donde $\Delta$ denota la diagonal $\{(a,a) \}_{a \in M}$.

Answer 1

Jim comentario de que es cierto para $M$ un colector es una vieja resultado, tal vez debido primero a Richard Palais (y en mayor generalidad). El resultado es generalmente atribuida a Fadell y Neuwirth, pero su resultado llegó más tarde. En su set-up de llamar a $M \times M \setminus \Delta$ a ser el espacio de configuración de dos puntos en $M$. En el Palacio del set-up, $M \times M \setminus \Delta$ es el espacio de incrustaciones de dos puntos de set en $M$. Palais trabaja en la generalidad de la integración de los espacios de colectores, por lo que el dominio del colector no tiene que ser cero-dimensional, como en este caso. Por ejemplo, si $Emb(S^2,M)$ denota el espacio de incrustaciones de una 2-esfera en $M$, tomar cualquier submanifold $X$$S^2$, entonces el mapa de restricción $Emb(S^2,M) \to Emb(X,M)$ es localmente trivial haz de fibras. Estas pruebas dependen en muy gran medida en el hecho de que $M$ es un colector.

Por ejemplo, si $M$ no fueron un colector, decir $M$ es la cuña de una colección finita de intervalos (el cono en un conjunto finito). El mapa no es un haz de fibras, ni siquiera un fibration. Debido a que el número de ruta de los componentes de la fibra, que cambia a medida que pasan a través de la cuña / cono punto.

En particular, si el mapa es localmente trivial haz de fibras, significa que el espacio de $X$ satisface una débil tipo de isotopía extensión del teorema. Porque le dio un camino entre dos puntos cualesquiera $x,y \in M$ puede trivializar el paquete de $p$ más de ese camino. Así que si hay un camino de $x$ a $y$, $M \setminus \{x\}$ y $M \setminus \{y\}$ son homeomórficos. Si usted fue más ambicioso que podría convertir a esta línea de razonamiento en un si y sólo si para la declaración de $M \times M \setminus \Delta \to M$ a ser un haz de fibras. Esto tendrá diciendo que el homeomorphisms $M \setminus \{x \} \to M \setminus \{y\}$ puede ser elegido de una manera continua (detalles suprimida) a medida que varían $x$ (o $y$).