Probabilidad de $3+3$ tarjetas, fuera de $6$ cartas extraídas de un solitario

Question

Un solitario se compone de $52$ tarjetas. Sacamos $6$ de ellos (sin repetición). Encuentre la probabilidad de que haya $3+3$ tarjetas del mismo tipo (por ejemplo, $3$ "1" y $3$ "5").

Intento.

Primera aproximación . Hay $\binom{13}{2}$ formas de elegir $2$ fuera del $13$ tipos y por la ley de multiplicación de la probabilidad, la probabilidad deseada es $$\binom{13}{2}\frac{4}{52}\,\frac{3}{51}\,\frac{2}{50}\, \frac{4}{49}\,\frac{3}{48}\,\frac{2}{47}.$$

Segundo enfoque . Hay $\binom{13}{2}$ formas de elegir $2$ fuera del $13$ tipos y la probabilidad deseada es $$\binom{13}{2}\frac{\binom{4}{3}\binom{4}{3}\binom{4}{0}\ldots\binom{4}{0}}{\binom{52}{6}}.$$

Estos números no coinciden, así que supongo que (al menos) uno de ellos no es correcto.

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Para aclarar completamente su confusión, abordemos primero un problema más sencillo.

Se trata de un sorteo sin reemplazo, (distribución hipergeométrica)
Si se le pide que encuentre el Pr de dibujo $2$ rojo y $3$ bolas azules de una piscina de $5$ rojo y $4$ bolas azules,

Utilizando la regla de la multiplicación, $P(RRBBB)$ en ese orden particular $\;= \dfrac59\dfrac48\dfrac47\dfrac36\dfrac25$ ,
pero tendríamos que multiplicarlo por $\dfrac{5!}{2!3!}$ para atender todos los pedidos posibles.
[Pero este factor de multiplicación es olvidado con demasiada frecuencia por los estudiantes]

Mediante el enfoque combinado, simplemente utilizaríamos $\dfrac{\binom52\binom43}{\binom95}$

Te aconsejo que utilices la multiplicación directa de las probabilidades cuando se da un orden específico, y las combinaciones en caso contrario.

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Volviendo a tu problema, deberías ser capaz de ver que en tu primera aproximación, ya que hay $3$ cada uno de los dos tipos, se necesita un multiplicador de $\dfrac{6!}{3!3!}$ ,

así $\dbinom{13}2\dfrac4{52}\dfrac3{51}\dfrac2{50}\dfrac4{49}\dfrac3{48}\dfrac2{47}\times \dfrac{6!}{3!3!}$

mientras que el segundo enfoque da directamente la respuesta correcta,

de hecho deberías simplificarlo a $\dbinom{13}2 \frac{\binom43\binom43}{\binom{52}6}$

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Para una variedad de problemas sobre la extracción de bolas de colores de una urna sin reemplazo, podría echar un vistazo aquí

Answer 2

Hay $13$ números/personas posibles. Tenemos que elegir $3$ por lo que la probabilidad es $\binom{4}{3} \cdot \binom{13}{2} \cdot \binom{4}{3}$ . La probabilidad total de elegir 6 cartas es $\binom{13}{2}$ . La probabilidad total es $\frac{4 \cdot 78 \cdot 4}{20358520}$ que es igual a $\frac{1248}{20358520} \Rightarrow \approx 6.13011162*10^{-5}$

Answer 3

Empiece con un caso de prueba sencillo y vaya aumentando:

Digamos que debemos encontrar $A\heartsuit$ , $A\clubsuit$ , $A\diamondsuit$ , $J\heartsuit$ , $J\clubsuit$ , $J\spadesuit$ en cualquier orden, en las primeras seis cartas repartidas.

Hay $52!$ baraja, de los cuales $6!\times 46!$ tener nuestras tarjetas en la posición requerida.

Ahora queremos saber de cuántas maneras podemos producir $3$ Ases y $3$ Jack es del $4$ disponible en cada traje, y esto es obviamente $\binom43^2=16$ .

Hasta ahora, pues, tenemos $6!\times 46!\times16$ barajas que nos dan lo que queremos.

Ahora tenemos $\binom{13}{2}$ formas de elegir nuestros dos rangos de cartas, así que la respuesta final es:

$$\binom{13}{2}\frac{6!46!16}{52!}\approx0.0000613$$