Pregunta rápida sobre las soluciones de $y'-y+y^8=0$

Question

Tengo una pequeña pregunta acerca de la solución de $y'-y+y^8=0$ pero no sé donde. He aquí lo que yo hago:

Deje $u(x) = y(x)^{1-8} = y^{-7}$, $y=u^{- \frac{1}{7}}$

$\frac{du}{dx} = -7 y^{-8} \frac{dy}{dx} = -7 u^{\frac{8}{7}} (u^{-\frac{1}{7}} - u^{-\frac{8}{7}})= -7u+7$

$u=Ce^{-7x}+1, \ \ C>0$

$y=(Ce^{-7x}+1)^{- \frac{1}{7}}$

Y aquí es donde tengo dudas. Wolfram dice que las soluciones de esta ecuación son $\frac{?}{\sqrt[7]{C + e^{7x}}}$ Donde $? = e^x, \ \sqrt[7]{-1} \cdot e^x, \ (- 1 )^{2/7} e^x, ..., (- 1 )^{6/7} e^x$.

Mi pregunta es, debo incluir el $n$-th raíces de $1$ en mis soluciones o no es siempre necesario?

Answer 1

El $n$-th raíces de $1$ son números complejos. No creo que su differentiql ecuación intervienen variables complejas; la DE es probable que asumen los números reales solamente. Entonces si es así, la solución debe ser en números reales sólo así. Es decir, $\displaystyle y=(Ce^{-7x}+1)^{-\frac 17}=\frac{1}{\sqrt[7]{Ce^{-7x}+1}}$ debe estar bien. (Wolframalpha es siempre incluyendo todas las posibles soluciones, ya sea en el avión real o imaginario.)