Dificultad para construir un anillo cociente de formas isomorfas de polinomios multivariantes

Question

Estoy tratando de construir un isomorfismo
$$ \frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(x^5-z,x^3-y)}\simeq \mathbb{C}[x] $$ utilizando el mapa $$ \phi : \frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(x^5-z,x^3-y)}\rightarrow \mathbb{C}[x]\\ 1\mapsto 1,x\mapsto x, y\mapsto x^3,z\mapsto x^5 $$ La subjetividad parece clara dado que estamos proyectando, en cierto sentido.

Para la inyectividad, que $(x^5-z,x^3-y)\subset \ker(\phi)$ está claro. Sin embargo, estoy luchando con la otra dirección de la inclusión. He llegado a concluir que para algunos $$ r(x,y,z)\in \frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(x^5-z,x^3-y)},\; r(x,y,z)=\bar{r}(x,y,z)+I $$ Dónde $I$ es el ideal. Como tenemos en el anillo cociente $x^5=z$ y $x^3=y$ podemos reescribir este polinomio como $$ \bar{r}(x,x^3,x^5) $$ Entonces, si $\phi$ lo mata tenemos $$ \phi(\bar{r}(x,x^3,x^5))=0 $$ ¿Es justo entonces concluir que $\bar{r}(x,y,z)\equiv 0$ ya que desaparece siempre que $x=x$ o $y=x^3$ o $z=x^5$ ¿o siempre en este anillo de cociente?

Answer 1

Aunque se ha dado una solución en los comentarios de Camilo Arosemena, permítanme completar la solución propuesta por el OP.

El punto clave es este: la división euclidiana por un polinomio es posible si su término principal es invertible.

Veré $\phi$ como un morfismo de $\mathbb{C}[x,y,z]$ a $\mathbb{C}[x]$ definida como la $\phi$ en la pregunta.

Dejemos que $P\in \ker(\phi)$ . Véalo como un elemento en $\mathbb{C}[x,y][z]$ es decir, como un polinomio en $z$ con coeficientes en $\mathbb{C}[x,y]$ . Dado que el coeficiente principal de $z-x^5$ es invertible en ese anillo, podemos realizar la división euclidiana: $$P = (z-x^5)\cdot Q + R,$$ donde $\deg_z(R)=0$ . En otras palabras, $z$ "no aparece" en $R$ y podemos ver $R$ como un elemento de $\mathbb{C}[x,y]$ .

Ahora, aplique el mismo razonamiento para dividir $R$ por $y-x^3$ : $$ R = (y-x^3)\cdot S + T, $$ donde $\deg_y(T)=0$ . Por lo tanto, $y$ y $z$ no aparecen en $T$ . Podemos verlo como un elemento de $\mathbb{C}[x]$ .

Ahora, tenemos $$P=(z-x^5)\cdot Q +(y-x^3)\cdot S + T.$$ Aplicando $\phi$ obtenemos $$0=\phi(T).$$

Pero como $T$ es un elemento de $\mathbb{C}[x]$ Esto sólo es posible si $T=0$ . Por lo tanto, $P\in (x^5-z, x^3-y)$ .