Contraejemplo utilizando el recuento de medida

Question

A la vez que comprueban que la norma de la mulplicative operador de $L^2(X) \to L^2(X)$ es la esencial supremum de $|g|$ donde $g \in L^\infty(X)$, me encontré con que tengo la necesidad de $\sigma$-finitud de la medida en $X$.

Alguien puede darme un ejemplo de un no $\sigma$-finito medir el espacio y $g \in L^\infty(X)$ de manera tal que la norma del operador de multiplicación es estrictamente menor que el esencial supremum de $|g|$?

Yo estaba tratando con el conteo medida en $\mathbb R$, pero fue en vano, así que sería bueno si alguien me puede dar el ejemplo mediante el conteo de medir,pero otros contraejemplos también son bienvenidos. Si alguien tiene cualquier problema con la definición de un operador multiplicativo, por favor refiérase a este. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Tome $X:=\{a,b\}$ y $\mu\{a\}=1$, $\mu\{b\}=\infty$. Definir $g(a)=0$$g(b)=M\gt 0$. Desde $L^2(X)=\{f\mid f(b)=0\}$, $M_g=0$ mientras $\lVert g\rVert_\infty=M$.