vectores paralelos a lo largo de una curva

Question

¿Qué significa para un campo de vectores X(t) para ser paralelo a lo largo de una curva de gamma(t)?

y ¿cómo podemos demostrar que si X(t) es paralelo a lo largo de gamma(t), entonces |X(t)| es constante?

Gracias

Answer 1

En una de Riemann colector $M$, se tiene una noción de "transporte paralelo" que se define a lo largo de cualquier curva de $\gamma: [a,b] \to M$: dado cualquier vector tangente $X(a)$ basado en el punto de $\gamma(a)$, se obtiene una familia de vectores de la tangente $X(t)$ ($t \in [a,b]$) con $X(t)$$\gamma(t)$. Intuitivamente, la idea es que el $X(t)$ "es el mismo vector" como $X(a)$, pero se trasladó de $\gamma(a)$$\gamma(b)$. (Por lo $X(t)$ es "paralelo" a $X(a)$, de donde el nombre.) La definición real es algo que intervienen, utilizando el concepto de la Levi-Civitta de conexión, como se ha comentado brevemente en Berci la respuesta.

Una propiedad de transporte paralelo es que, para cualquier valor de $t$, el transporte paralelo mapa de $X(a) \mapsto X(t)$ desde el espacio de la tangente en $\gamma(a)$ a el espacio de la tangente en $\gamma(t)$ es una isometría de producto interior de los espacios, y en particular, conserva las longitudes. Por lo tanto $|X(t)|$ es constante a lo largo de la curva de $\gamma$.

Si todo esto es desconocido para usted, usted tendrá que aprender los conceptos básicos de la Levi-Cevitta de conexión y las ideas relacionadas. Este es un tema que es muy complicado para un principiante para aprender, ya que las presentaciones suelen hacer hincapié en técnicas de precisión más intuitiva claridad (y la página de la wikipedia en paralelo de transporte vinculado a Berci la respuesta no parece desviarse de este enfoque general). Para mí, la primera vez que supe de este material de Spivak de la geometría diferencial de los libros (creo que el segundo volumen es la más relevante aquí); son largos, pero creo que hace un buen trabajo de hacer hincapié en el significado intuitivo de las cosas.

Esta respuesta mía también podría ayudar con la intuición.

Answer 2

Esta noción de 'transporte Paralelo' se define por medio de la derivada covariante (o Levi-Civittá de conexión de colectores de Riemann).

Prácticamente, la comprensión de la covariante derivados geométricamente podría ser más fácil de usar el transporte paralelo como un primitivo concepto, como se esbozó en la misma página de la wiki aquí..

Para tu otra pregunta, es $\gamma$ específicamente determinado, o algo más? No estoy seguro de que la afirmación es verdadera en este formulario..