Demuestre que la suma de las $x$ -coordenadas de tres puntos en la gráfica de $y = x^2$ cuyas líneas normales se cruzan en un punto común es $0$ .

Question

Supongamos que tres puntos de la gráfica de $y = x^2$ tienen la propiedad de que sus líneas normales se cruzan en un punto común. Demuestra que la suma de sus $x$ -coordenadas es $0$ .

He trabajado un poco para tratar de explicar esto, pero no estoy tan seguro de poder visualizarlo para empezar.

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La línea tangente a la curva $y = x^2$ en un punto $T(a, a^2)$ es $$y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = a^2 + 2ax - 2a^2 \implies y = 2ax - a^2$$

Para que las rectas tangentes a dos puntos se crucen en un punto común $P(x, y)$ que será a lo largo de la $y$ -eje, su $y$ -deben ser equivalentes, y $x = 0$ .

Por lo tanto, los dos puntos deben ser equidistantes del origen, tal $|c| = |a|$ para que las líneas tangentes a sus coordenadas $T_2(c, c^2)$ y $T_1(a, a^2)$ se cruzará en el punto $(x, y)$ como su $y$ -Las intersecciones se expresan mediante $-c^2$ y $-a^2$ respectivamente.

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Me siento un poco como si estuviera divagando, hasta cierto punto. Me cuesta pensar en una forma de describir este escenario ya que parecería que la línea normal a cada punto tendría que pasar por el origen para que las líneas se encuentren en un punto, como una función lineal $f(x)$ sólo puede encontrarse con otra función lineal $g(x)$ en un momento dado asumiendo que $f(x) \neq g(x)$ y $m_f \neq m_g$ (lo que significaría infinitos puntos de intersección, y ningún punto de intersección, respectivamente).

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Editar:

Sean tres puntos $A(a,a^2)$ , $B(b,b^2)$ , $C(c,c^2)$ cuyas líneas normales se cruzan en un punto $P(x_p, y_p)$

La tangente a la curva en $A$ es $y - a^2 = 2a(x - a)$

La normal de la curva en $A$ es $y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies x+2ay=2a^3+a$

$$ \begin{align*} \\ &\left[y = \dfrac{2a^3 + a - x}{2a} \right] \text{ } \left[y = \dfrac{2b^3 + b - x}{2b} \right] \text{ } \left[y = \dfrac{2c^3 + c - x}{2c} \right] \\ \\ &\left[x = 2a^3 + a - 2ay \right] \left[ x = 2b^3 + b - 2by \right] \left[ x = 2c^3 + c - 2cy \right] \end{align*} $$

$I_{A \cdot B} = $ la intersección de $line_{normal_A}$ y $line_{normal_B} \implies$ $I_{A \cdot B}([-2ab(a+b)], [a^2+ab+b^2+\frac{1}{2}])$

$I_{A \cdot C} = $ la intersección de $line_{normal_A}$ y $line_{normal_C} \implies$ $I_{A \cdot C}([-2ac(a+c)], [a^2+ac+c^2+\frac{1}{2}])$

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A partir de aquí, no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Supongamos que $P_1,P_2$ son puntos de la parábola cuyas líneas normales se encuentran en $V$ . Entonces el círculo $\Gamma_1$ con centro $V$ a través de $P_1$ es tangente a la parábola, así como el círculo $\Gamma_2$ con centro $V$ a través de $P_2$ . Si el normal en $P_3$ pasa por $V$ también, entonces tenemos tres círculos concéntricos tangentes a la misma parábola, o, dado $V=(v_x,v_y)$ tres puntos estacionarios para la distancia al cuadrado de $V$ es decir: $$ f(x) = (v_x-x)^2+(v_y-x^2)^2 .$$ Esto implica que $f'(x)$ tiene tres raíces reales, en el $x$ -coordenadas de $P_1,P_2,P_3$ . Desde: $$ f'(x) = 4x^3-(4v_y-2)x-2v_x, $$ la suma de los $x$ -coordenadas de $P_1,P_2,P_3$ es cero por Teorema de Viète (la suma de las raíces de $f'(x)$ viene dado por el contrario del coeficiente de $x^2$ es decir $0$ ).

$$\phantom{}$$

Actualización: Dado que la línea normal a través de $(x_0,x_0^2)$ se cruza con el $x$ -eje en el punto $(x_0+2x_0^3,0)$ la concurrencia de las líneas normales implica: $$\det\left(\begin{array}{ccc}1&x_1&x_1^3 \\ 1&x_2&x_2^3 \\ 1&x_3&x_3^3\end{array}\right)=0$$ que implica $x_1+x_2+x_3=0$ .

Answer 2

Supongamos que tres puntos de la gráfica de $y = x^2$ tienen la propiedad de que sus líneas normales se cruzan en un punto común. Demuestra que la suma de sus $x$ -coordenadas es $0$ .

Que los puntos sean $A(a,a^2)$ , $B(b,b^2)$ , $C(c,c^2)$

La tangente a la curva en $A$ es $y - a^2 = 2a(x - a)$

La normal de la curva en $A$ es $y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies x+2ay=2a^3+a$

\begin{align*} \\ &\left[y = \dfrac{2a^3 + a - x}{2a} \right] \text{ } \left[y = \dfrac{2b^3 + b - x}{2b} \right] \text{ } \left[y = \dfrac{2c^3 + c - x}{2c} \right] \\ &\left[x = 2a^3 + a - 2ay \right] \left[ x = 2b^3 + b - 2by \right] \left[ x = 2c^3 + c - 2cy \right] \end{align*}

$I_{A \cdot B} = $ intersección de las líneas normales de $A$ y $B$ $\implies$ $I_{A \cdot B}([-2ab(a+b)], [a^2+ab+b^2+\frac{1}{2}])$

$I_{A \cdot C} = $ intersección de las líneas normales de $A$ y $C$ $\implies$ $I_{A \cdot C}([-2ac(a+c)], [a^2+ac+c^2+\frac{1}{2}])$

$$ \\ \begin{align} \\ I_{A \cdot B} = I_{A \cdot C} \implies x_{I_{A \cdot B}} = x_{I_{A \cdot C}} \implies \frac{x_{I_{A \cdot B}}}{x_{I_{A \cdot C}}} = 1 \implies \dfrac{-2ab(a+b)}{-2ac(a+c)} &= 1 \\ \\ b(a + b) &= c(a + c) \\ ba+b^2 &= ca + c^2 \\ a(b - c) &= c^2 - b^2 \\ a(b - c) &= (c + b)(c - b) \\ a(b-c) &= (c+b)(b-c)(-1) \\ \frac{a(b-c)}{(b-c)} &= -c - b \\ a + b + c &= 0 \\ \\\end{align} $$

Esto muestra la suma de $a+b+c$ es $0$ .