Resolver $3\log_{10}(x-15) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$

Question

$$3\log_{10}(x-15) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$$

Estoy completamente perdido sobre cómo proceder. ¿Podría alguien explicar cómo encontrar cualquier real solución a la ecuación anterior?

Answer 1

Sugerencia: Considere los lados izquierdo y derecho en $x=16$ y $x=17$ . No encontrarás una solución explícita de "forma cerrada", pero puedes demostrar que existe.

Answer 2

Poner $$\begin{equation*} f(x) = 3\log_{10}(x - 15) - \left(\dfrac{1}{4}\right)^x. \end{equation*}$$ Tenemos $f$ es una función creciente sobre $(15, +\infty)$ . De otra manera, $f(16)>0$ y $f(17)>0$ . Por lo tanto, la ecuación dada sólo tiene solución pertenece a $(16,17)$ .

Answer 3

Dejemos que $x=16+y$ . Después de aproximar $\log(1+y)$ con $y - \frac{y^2}{2}$ , $(\frac{1}{4})^y = \exp(-\log(4) y)$ con $1 - \log(4) y$ , $\frac{1}{1+\epsilon}$ con $1 - \epsilon$ , obtenga $$y \approx \frac{\log(10)}{3 \cdot 4^{16}}.$$

La calculadora de funciones WIMS da la solución exacta, $1.7870412306 \cdot 10^{-10}$ en comparación con la aproximación, $1.7870412309 \cdot 10^{-10}$ .