Demostrando $|a-1|+|a-2|+|a-3| \ge 2$

Question

Tengo que probar la siguiente frase para $a\in\mathbb{R}$:

$$|a-1|+|a-2|+|a-3| \ge 2$$

Ruptura de la ecuación en los casos funciona, es decir, para $a\le 1$:

$$-a+1-a+2-a+3\ge 2$$ $$-3a \ge -4$$ $$a \le 4/3$$ Que siempre es cierto, ya que $a \le 1$, pero la escritura todos los casos como el que en realidad no parece ser una prueba suficiente, o de una manera muy inteligente de hacerlo. Existe una mejor manera de demostrarlo?

Answer 1

El triángulo de la desigualdad no parece ser necesario: $$\underbrace{|a-1|}_{\ge a-1}+\underbrace{|a-2|}_{\ge0}+\underbrace{|a-3|}_{\ge 3-a}\ge(a-1)+0+(3-a)=2$$

Answer 2

Aplicar la desigualdad de triángulo $|x|+|y|\geq |x+y|$ tres veces: $$\begin{align*} |a-1|+|a-2|&=|a-1|+|2-a|\geq 1\\ |a-2|+|a-3|&=|a-2|+|3-a|\geq 1\\ |a-3|+|a-1|&=|3-a|+|a-1|\geq 2. \end{align*}$$ Sumando estos y dividiendo por $2$ da el resultado deseado.

Answer 3

Usted puede utilizar el triángulo de la desigualdad de valor absoluto: $$|a\pm b| \leq |a|+|b|$$ Ahora $2 = |2| = |(a-1)-(a-3)| \leq |a-1|+|a-3|$ lo que en realidad $$|a-1|+|a-2|+|a-3| \geq 2+|a-2| \geq 2$$ Observe que la igualdad se logra cuando la $a = 2$.

Answer 4

no podemos discutir esto geométricamente. $$|a-1| + |a-2| + |a-3|$$ is the sum of the distances of the point $un$ on the number line from the three points $1, 2$ and $3.$ if the point $un$ is between $1$ and $3,$ then the distances from $1$ and $3$ themselves add up to $2,$ therefore the three distances must be $\ge 2.$ if you take a point outside then either of the distances from $1$ or $3$ must be $\ge 2.$ que se ocupa de todas las posibilidades.

Answer 5

Se sabe que el número de $a$ minimizar $\sum_i |a-x_i|$ es la mediana de la $a_i$; una prueba de esto ya aparece en la página web (si usted lo puede encontrar!). En nuestro caso, esto significa $$|a-1| + |a-2| + |a-3| \geq |2-1| + |2-2| + |2-3| = 2.$$