Escribiendo $\dot {q}$ en términos de $p$ en la formulación Hamiltoniana

Question

En la formulación Hamiltoniana, hacemos una transformación de Legendre del Lagrangiano y debe ser escrita en términos de las coordenadas $q$ y el impulso $p$ . ¿Podemos escribir siempre $dq/dt$ en términos de $p$ ? ¿Hay algún caso en el que obtengamos por ejemplo una ecuación trascendental y no podamos hacerla?

Answer 1

Además de la respuesta correcta de Lubos Motl, hay que destacar que no siempre se puede invertir la relación $p_i=f_i(q,\dot{q},t)$ para aislar $\dot{q}^j$ ni siquiera en principio, debido a las restricciones. Estos casos se conocen como singular Transformaciones de Legendre y son el punto de partida del tema de la dinámica restringida.

Ejemplo. Consideremos, por ejemplo, el lagrangiano

$$\tag{1} L~=~ y\dot{x} - \frac{y^2}{2m}$$

con dos variables dinámicas $x$ y $y$ . (Este Lagrangiano (1) es de hecho el llamado Lagrangiano Hamiltoniano para una partícula libre no relativista 1D si identificamos la variable $y$ con el momento de la partícula $p_x$ , cf. el Método Faddeev-Jackiw pero imaginemos que no lo sabemos).

Ahora pasemos a la transformación de Legendre mediante el método de Dirac-Bergmann. Los momentos son

$$\tag{2} p_x~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}~=~y,$$

y

$$\tag{3} p_y~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}~=~0.$$

Obviamente, no podemos invertir las ecs. (2) y (3) para encontrar $\dot{x}$ en términos de $x,y,p_x,p_y$ y $t$ . Las ecuaciones (2) y (3) son limitaciones primarias ,

$$\tag{4} p_x-y~\approx~ 0\quad\text{and} \quad p_y~\approx~ 0.$$

El hamiltoniano es

$$\tag{5} H~=~p_x \dot{x} +p_y \dot{y} - L ~\approx~ \frac{p^2_x}{2m},$$

donde el $\approx$ símbolo significa la igualdad modulando las restricciones (4). De hecho, es sólo una partícula libre 1D no relativista, donde hemos utilizado las restricciones (4) para eliminar cualquier física en el $y$ -dirección. (Es fácil comprobar que no hay restricciones secundarias si utilizamos $\frac{p^2_x}{2m}$ como el hamiltoniano).

Answer 2

Sí, por supuesto que el $p$ - $v$ La relación puede ser trascendental, por lo que no se puede invertir en términos de funciones elementales. Sin embargo, eso no significa que la función inversa no exista. Incluso las funciones que no pueden escribirse en términos de funciones elementales pueden existir.

Por ejemplo, consideremos el Lagrangiano $$L =\exp(bv^2)\cdot mv^2$$ Implica $$p = \frac{dL}{dv} = \exp(bv^2)(2mbv^3+2mv)$$ que no puede ser invertido en términos de funciones elementales $v=v(p)$ . Sin embargo, la función $v=v(p)$ sigue existiendo, aunque estas relaciones velocidad-momento no son necesariamente uno a uno en todos los casos.

Answer 3

Hay dos cuestiones diferentes pero relacionadas.

En primer lugar, la existencia de $\dot{q} = \dot{q}(p)$ se garantiza en el formalismo hamiltoniano en virtud de la primera ecuación de Hamilton

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$$

porque $H=H(p,q)$ y la derivada parcial será una función de la $(p,q)$ según el razonamiento matemático ordinario. Observe que su $\dot{q} = \dot{q}(p)$ sólo es válida para casos especiales como el de una partícula libre.

En segundo lugar, lo que realmente estás preguntando aquí es si se puede obtener un Hamiltoniano a partir de cualquier Lagrangiano. Básicamente esta pregunta se reduce a si la relación lagrangiana

$$p = p(q,\dot{q}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}},$$

donde $L=L(q,\dot{q})$ puede ser siempre invertido para obtener $\dot{q} = \dot{q}(p,q)$ . La respuesta es negativo .

Si el lagrangiano total puede escribirse como

$$L = \alpha_0 L_0 + \alpha_1 L_1 + \alpha_2 L_2$$

donde $L_j$ denota una función homogénea de $j$ grado y el $\alpha_j$ son constantes, entonces el momento lagrangiano $p = p(q,\dot{q})$ siempre se puede invertir para obtener la velocidad. Para más detalles, véanse las secciones 2.7 y 8.1 de la Mecánica Clásica de Goldsteins.

Por ejemplo, el momento lagrangiano para una sola partícula cargada en un campo electromagnético externo se puede invertir y se puede obtener el Hamiltoniano $H$ del Lagrangiano $L$ .

El lagrangiano de dos partículas cargadas que interactúan entre sí es un ejemplo de lo contrario. Esta es la razón por la que Wheeler y Feynman prometieron una formulación hamiltoniana para su teoría de muchos cuerpos electrodinámica pero no ha encontrado ninguno.