Deje $f$ ser un proceso continuo y abierto de mapa de$\mathbb R $$\mathbb R$.Demostrar que $f$ es monótona.

Question

Deje $f$ ser un proceso continuo y abierto de mapa de$\mathbb R $$\mathbb R$.Demostrar que $f$ es monótona.

Supongamos que $f$ no es monótona.A continuación, $\exists a,b;a>b$ tal que $f(a)<f(b)$ $c,d;c<d$ tal que $f(c)>f(d)$.Desde $f$ es continua, entonces existe ningún salto en la gráfica de $f$. Pero, ¿cómo debo usar el hecho de que $f$ está abierto.Cualquier ayuda sobre cómo debo hacer la prueba?

Answer 1

Aquí es una prueba directa:

$f$ no tiene máximo o mínimo local

Si $f$ tiene un máximo local en a $x=a$, entonces no es $\delta >0$ tal que $f(x)\le f(a)$ todos los $x\in(a-\delta, a+\delta)$. Por lo tanto, $f$ mapas el intervalo abierto $(x-\delta, x+\delta)$ a un intervalo de la forma $(y,f(a)]$ o $[y,f(a)]$, ninguno de los cuales está abierto. Alternativamente, $f(a)$ es en la imagen de $(x-\delta, x+\delta)$, pero no el intervalo de $f(a)$ está totalmente contenida en la imagen.

$f$ es inyectiva

Si $f(a)=f(b)$$a<b$, $f$ es constante en $(a,b)$ $f$ mapas de $(a,b)$$\{f(a)\}$, que no está abierto.

$f$ es monótona

Wlog, supongamos $f(a)<f(b)$$a<b$. Tome $c,d$$a<b<c<d$.

Si $f(c)<f(a)$, $f$ también tendría el valor de$f(a)$$(b,c)$.

Si $f(a)<f(c)<f(b)$, $f$ también tendría el valor de$f(c)$$(a,b)$.

Por lo tanto, $f(b)<f(c)$.

Repita el argumento con el $b,c,d$ y a la conclusión de que $f(c)<f(d)$.