Anillo Local de variedad en un punto

Question

Deje $X=V(xy) \subset \mathbb{C}^2$ ser afín algebraicas conjunto. (los ejes de coordenadas)

¿Cómo puede definirse el anillo local de $X$ a un punto de $P=(0,b)$$Q=(0,0)$?

Mi libro de texto sólo define anillo local para irreductible variedades. Así que no sé el caso de no irreductible conjuntos.

Pensé para $P$, $P$ es en $V(x)$ por lo que el anillo local de $V(x)$$P$. ¿Es lo correcto? Pero no tengo ideas para el origen.

Answer 1

Como Zhen menciona en los comentarios, el anillo local de $V(xy)\subseteq\Bbb C^2$ es la localización de la $\left(\dfrac{\Bbb C[x,y]}{(xy)}\right)_{(x,y)},$ desde $(x,y)$ es el máximo ideal correspondiente al punto de $(0,0).$

Una propiedad importante de la localización es que viajes con cocientes. En este caso, tenemos $\left(\dfrac{\Bbb C[x,y]}{(xy)}\right)_{(x,y)}=\dfrac{\Bbb C[x,y]_{(x,y)}}{(xy)}.$ Ya que sabemos que $\Bbb C[x,y]_{(x,y)}$ es el sub-anillo de $\Bbb C(x,y)$ compuesto de elementos $\dfrac{f(x,y)}{g(x,y)}$ satisfacción $g(0,0)\neq 0,$ podemos ver que $\dfrac{\Bbb C[x,y]_{(x,y)}}{(xy)}$ se compone de elementos de $\dfrac{f(x,y)}{g(x,y)}$ donde$g(0,0)\neq 0,$, pero también donde la $f(x,y),g(x,y)$ no puede haber mezclado plazo monomials $x^\alpha y^\beta$ $\alpha,\beta\neq 0$ con un coeficiente distinto de cero.