Superficie con curvatura gaussiana constante $K > 0$

Question

Además de la esfera, ¿existe alguna otra superficie con curvatura gaussiana constante y positiva $K$ ?

Answer 1

La palabra "superficie" es demasiado vaga. Si significa un subconjunto suave de $\mathbb{R}^3$ que puede ser parametrizado por dos varibles se "parecerá" a la esfera de radio $1/\sqrt{K}$ cerca de cualquier punto (será localmente isométrico a una esfera en lenguaje técnico). Podría ser cualquier trozo abierto de la esfera, o una colección disjunta de ellos.

Si además suponemos que este subconjunto debe ser cerrado en $\mathbb{R}^3$ entonces toda la esfera es la única posibilidad, hasta moverla. Si todavía la queremos cerrada, pero permitimos que sea un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ con lo suficientemente grande $n$ entonces hay una segunda posibilidad, el plano proyectivo real. Sigue "pareciéndose" a la esfera cerca de cualquier punto, pero tiene una forma general diferente.

La interpretación más abstracta es tratar la "superficie" como si no estuviera dentro de ningún espacio (colector bidimensional), pero aún así tiene alguna estructura residual (llamada métrica de Riemann), que hace que la noción de curvatura tenga sentido. Sin embargo, incluso esto no conduce a otra cosa que a trozos abiertos disjuntos de esferas y planos proyectivos reales.

Answer 2

Supongamos que $M$ es una variedad bidimensional completa de Riemann conectada de curvatura constante $1$ . Entonces $M$ es isométrica a la esfera unitaria o a su cociente, el plano proyectivo.

Answer 3

Superficie de Sieverts, así como las hiper e hipo esferas.