Modelo alternativo de la geometría Euclidiana

Question

Creo que lo voy a enseñar de alta escuela de la geometría. Como de costumbre, esto será mediante la construcción de axiomas. (Los axiomas utilizados son AFAICT particular, el libro me han asignado, pero son una combinación de Hilbert, del SMSG, y Dios sabe qué.) Estoy considerando la posibilidad de demostrar que los axiomas de la geometría no tienen necesidad de su modelo habitual mediante la presentación de un modelo alternativo de al menos un par de axiomas básicos. ¿Alguien puede recomendar algún modelo? Yo tendría que ser accesible a los estudiantes de secundaria (así, por ejemplo, no este).

Answer 1

El racional de avión $\mathbb{Q}^2$ es un modelo de Euclides cinco axiomas, y creo (espero?) que sea accesible a los estudiantes de secundaria. Muchas de las construcciones geométricas no funcionan como se espera de él; por ejemplo, aquí está un extracto de la Explicación y de la Prueba en Matemáticas, p.66:

Answer 2

El racional de avión $\mathbb{Q}^2$ no modelo de la geometría Euclidiana. Usted puede ver esto debido a que en la geometría Euclidiana la diagonal de una unidad cuadrada tiene irracional de longitud. Voy a volver a la histórica y lógica de problemas al final.

La alternativa interesante modelo de la geometría Euclidiana toma "edificable números" como coordenadas. Te estas iniciando con los números racionales y la adición de una raíz cuadrada para cada número positivo. Formalmente suponga que para cada número $x$ también existe una raíz cuadrada $\sqrt{1+x^2}$.

Cantor y Dedekind en el siglo 19 ya lo sabía, de un modelo contable, lo que significa que no es continua en cualquier lugar. Como los números racionales sentarse como infinitamente denso, pero en ninguna parte-conectado de polvo en la línea real, así que los números construibles. Este modelo se sienta como infinitamente denso en ninguna parte-conectado polvo en el avión real.

Y allí siguen siendo difíciles preguntas lógicas acerca de este modelo. Ver http://mathoverflow.net/questions/142395/is-the-field-of-constructible-numbers-known-to-be-decidable

Muchos historiadores afirman que $\mathbb{Q}^2$ ¿el modelo de los axiomas de Euclides, en realidad, daba, y así llegan a la conclusión de que Euclides los axiomas son defectuosos y no puede demostrar la Proposición 1.1 la construcción de un triángulo equilátero. El error lógico en Euclid de la prueba (en esta lectura) es que sus axiomas no implican el dado círculos tienen ningún punto de intersección. Y usted puede ver fácilmente el no tienen esa intersección en $\mathbb{Q}^2$ desde las coordenadas tendría que ser irracional.

Si quieres vivir con $\mathbb{Q}^2$ como la geometría y acaba de decir que no se permita que todos los habituales construcciones que Euclides usa, entonces usted tiene que decir una construcción que no permite es encontrar los puntos de intersección de los círculos en la Proposición 1.1.

El edificable se denominan números construibles, porque se puede conseguir mediante regla y compás construcciones. El punto de adición de números de $\sqrt{1+x^2}$ es para conseguir cosas como la longitud de la diagonal de una unidad cuadrada que por supuesto es $\sqrt{2}=\sqrt{1+1^2}$. Las coordenadas del punto de intersección en la Proposición de Euclides 1.1, si se toma la línea de base como de $\langle -1,0\rangle $ $\langle +1,0\rangle$son construibles como $\langle 0, \sqrt{1+\sqrt{2}^2}$ como ya hemos visto $\sqrt{2}$ es construcible

Answer 3

Otro modelo de la geometría euclidiana es la inversión de la proyección. Conserva los ángulos, pero las líneas rectas son las líneas que pasan a través de un punto de la 'U'. Los círculos que son la cotangente de la U son líneas paralelas, y los ángulos se conservan. Los círculos que no pasan a través de U permanecer círculos, y para este propósito, las líneas rectas son círculos demasiado (acaba de pasar a ser aquellos que pasan a través de otro punto de 'V' (en el infinito). Si uno invierte U sobre V (por el dibujo de un círculo centrado en la U, y la sustitución de $r$$1/r$, la inversión de la geometría de los swaps en un verdadero plano euclidiano.

Con el fin de demostrar que algo es de una geometría Euclidiana, uno debe demostrar que los diversos postulados de la bodega.

Hay geometría proyectiva. Se supone que las líneas rectas son rectas, y que hay una real 'de la línea en el infinito'. Las líneas paralelas son líneas rectas que cruzan la línea en el infinito en un punto común.

Es bastante interesante adjunto, el cual va a mostrar cómo podemos vivir en un espacio, y no se sabe si es euclidiana, hiperbólico o esférico. De hecho, encontré esto cuando yo estaba merodeando en los límites exteriores de mi casa-forjado de la geometría hiperbólica.