Weierstrass M-test, y $\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}x^n$

Question

¿Cómo puedo usar la M de Weierstrass-prueba para mostrar la convergencia uniforme de $\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}x^n$$[0,\infty )$?

No puedo encontrar ninguna delimitación de las secuencias. He intentado analizar la convergencia en un intervalo menor, pero esto no fuera demasiado.

Answer 1

Tenga en cuenta que $e^{-nx}x^n=(xe^{-x})^n$. Denotar $f(x)=xe^{-x}$. Para nonegative $x$, $f(x)$ es no negativa, y $f$ tiene un máximo global de al $f'(x)=x(-e^{-x})+(1)e^{-x}=0$ o $x=1$. (Se puede ver de manera gráfica, pero si usted necesita para establecer rigurosamente usted también necesita mirar $f(0)=0$, $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, y $f''(1)<0$ a demostrar formalmente un máximo global.) Entonces, dado $f(1)=e^{-1}$, tenemos

$$ e^{-nx}x^n = (xe^{-x})^n \le e^{-n}.$$

Desde $\sum_{n=1}^\infty e^{-n}$ converge, como $|e^{-1}|<1$ y es una serie geométrica, la M prueba muestra que la original de la serie converge uniformemente.