Funciones integrables de Lebesgue y cálculo del límite

Question

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_{\frac 1 n }^1 \frac { 1+nx }{ (1+x)^n } \, dx $$

¿Cómo puedo resolver este problema utilizando el teorema de convergencia limitada?

Answer 1

Sugerencia

En primer lugar, podemos observar la antiderivada, que es bastante sencilla, ya que

$$\frac { 1+nx }{ (1+x)^n }=\frac {n}{ (1+x)^{n-1}}-\frac {n-1}{ (1+x)^{n}}$$ Así que, tras las simplificaciones, $$I= \int \frac { 1+nx }{ (1+x)^n } \, dx=-\frac{(x+1)^{1-n} (n x+2)}{n-2}$$ De ello se deduce que $$J_n= \int_{\frac 1 n }^1 \frac { 1+nx }{ (1+x)^n } \, dx=\frac{\frac{3 \left(\frac{1}{n}+1\right)^{-n} (n+1)}{n}-2^{1-n} (n+2)}{n-2}$$ Estoy seguro de que puede tomar de aquí

Answer 2

Escribe la integral como $$ \int \frac{1 + nx}{(1+x)^n} I_{[1/n,1]}(x) dx = \int f_n(x) dx $$ donde el integrando $f_n$ aquí satisface $$ 0 \leq f_n(x) \leq I_{[0,1]}(x) $$ desde \begin{align} (1 + x)^n &= \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i \\ &= 1 + nx + \sum_{i=2}^n \binom{n}{i} x^i \\ &\geq 1 + nx \end{align} para todo lo no negativo $x$ . La función $I_{[0,1]}(x)$ es integrable en Lebesgue y, por tanto, se puede introducir el límite.

Ahora tienes que determinar el límite, y como tanto el numerador como el denominador se escapan al infinito, tienes una forma indeterminada y puedes utilizar la sugerencia de L'Hopital: $$ \lim_{t \to \infty}\frac{1 + tx}{(1+x)^t} = \lim_{t \to \infty}\frac{x}{\ln(1+x)(1+x)^t} = 0. $$