Desarrollo de la teoría de las categorías dentro de ETCS

Question

Tratando de entender cómo la [E]teoría elemental de la [C]ategoría de los [S]etos de Lawvere puede ser utilizada como base para las matemáticas alternativas a la ZFC, me estoy atascando con la cuestión de cómo desarrollar la teoría de las categorías dentro de la ETCS.

No es un problema en ZFC ni en ETCS definir la noción de categoría, al menos internamente, cuando los objetos y morfismos son "conjuntos". Sin embargo, lo que resulta problemático al desarrollar la teoría de categorías de forma completamente interna a ZFC, es decir, sin utilizar clases y metateoremas propios, es la elección de cómo queremos llamar a la categoría de conjuntos dentro de ZFC. Una forma de resolver esto es introducir los universos de Grothendieck y tomarlos como las "categorías base de conjuntos", sobre las que se puede construir la teoría de categorías dentro de ZFC.

Mi pregunta ahora es: ¿Cuáles son las posibilidades en ETCS para asegurar una razonable "categoría de conjuntos" basada en la cual la teoría de categorías puede ser desarrollada dentro de ETCS?

¿Existen buenas fuentes para esta pregunta?

Gracias.

Hanno

Answer 1

El punto de ETCS es que un modelo de ETCS ya es una categoría, así que supongo que lo que estás preguntando es cómo hacer universos en ETCS. Bueno, ETCS es equivalente en un sentido fuerte a la teoría de conjuntos de Mac Lane, y en la teoría de conjuntos de Mac Lane, los universos de Grothendieck son modelos de ZFC (¡de segundo orden!). Así que si estás dispuesto a seguir ese camino, basta con axiomatizar los cardinales fuertemente inaccesibles dentro de ETCS -y esto es sencillo.

Supongamos ahora que $X$ es un conjunto de cardinalidad fuertemente inaccesible. Construimos dentro de ETCS una categoría de conjuntos pequeños basada en $X$ . En primer lugar, dejemos que $O$ sea el subconjunto de $\mathscr{P}(X)$ que consiste en aquellos subconjuntos de $X$ estrictamente menor que $X$ y que $E \subseteq X \times O$ sea la relación binaria obtenida al restringir $[\in]_X \subseteq X \times \mathscr{P}(X)$ . Podemos considerar la proyección $E \to O$ como $O$ -y podemos formar la familia de conjuntos $F \to O \times O$ tal que la fibra de $F$ sobre un elemento $(Y, Z)$ de $O$ es el conjunto $Z^Y$ . Esto tiene la propiedad universal esperada en la categoría de rodajas $\mathbf{Set}_{/ O \times O}$ . Una vez que tenemos $F \to O \times O$ es sencillo construir una categoría interna que, al exteriorizarse, sea la subcategoría completa de $\mathbf{Set}$ abarcados por los pequeños subconjuntos de $X$ . Nótese que la suposición de que la cardinalidad de $X$ es un cardinal regular implica que la categoría resultante es un modelo no sólo de ETCS sino también del axioma de sustitución.

Por supuesto, si uno cree realmente que el ETCS es una base adecuada para las matemáticas, también puede conformarse con menos. Por ejemplo, se podría realizar la misma construcción para un conjunto cuya cardinalidad sea un límite fuerte, y la categoría interna de conjuntos resultante seguirá siendo un modelo de ETCS aunque no necesariamente de sustitución.

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la teoría de las categorías es de naturaleza unidireccional, a pesar de que suele presentarse como bidireccional (objetos, flechas), ya que se puede identificar un objeto con su flecha de identidad.

El ETCS es en realidad parte de un sistema formal más amplio, la Teoría Elemental de la Categoría de Categorías [ETCC], donde las variables del alfabeto representan morfismos entre categorías. Los objetos más importantes, que deben ser axiomatizados, son las categorías $\mathbf{0, 1, 2, 3}$ . Una buena referencia puede ser: Categorías elementales, Topos elementales .

Lawvere, en su hermosa tesis doctoral se sugiere tratar los problemas dimensionales de una manera muy similar a ZF3 (es decir, ZF mejorado con universos $\omega = \theta_0 \in \theta_1\in \theta_2$ ). Así, propuso axiomatizar la existencia de dos categorías (es decir, variables)

• $\mathcal C_1$ que debe considerarse como la categoría de las categorías pequeñas. Aquí, la categoría de conjuntos más importante es $\mathbf{FinSet}$ (Bill lo llama $\mathcal S_0$ ). Se requiere que tenga todas las buenas propiedades de $\mathbf{Cat}$ .
• $\mathcal C_2$ que debe ser considerada como la categoría de las grandes categorías. Uno requiere que tenga todas las buenas propiedades de $\mathcal C_1$ y además una flecha de identidad (es decir, un objeto, una categoría) con todas sus propiedades (es decir, $\mathcal C_1$ ). Por supuesto, la categoría de conjuntos pequeños puede ser considerada como un objeto de $\mathcal C_2$ , es decir, una flecha $\{\mathcal S_1\}\colon \mathbf 1 \to \mathcal C_2$ .

En este marco general, se puede axiomatizar el ETCS.

También, echa un vistazo a estos 3d en MO: 1 , 2 .