$\mathbb{Q}\cap [0,1]$ no es compacto, ya que cualquier número irracional $\in [0,1]$ es un punto límite de $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ pero $\notin\mathbb{Q}\cap [0,1]$.
Entonces, debe existir una apertura de la tapa para $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ que no tiene un número finito de subcover.
Por lo tanto, estoy pensando en construir una secuencia de intervalos abiertos.
Deje $O_n = (-1,\frac{\sqrt 2}{2} - \frac{1}{2n})$$n\in \mathbb{N}$,
donde $(\frac{\sqrt 2}{2} - \frac{1}{2n}) \rightarrow \frac{\sqrt 2}{2}$
Yo reclamo que $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}O_n \cup (\frac{\sqrt 2}{2},2) \supseteq [0,1]$.
Deje $x \in \mathbb{Q}\cap [0,1]$
Caso 1: $x \in \mathbb{Q}\cap [0,\frac{\sqrt 2}{2})$.
$\frac{\sqrt 2}{2} - x > 0 \implies 2(\frac{\sqrt 2}{2} -x) >0$
Por Arquímedes de la Propiedad, $\exists n\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n} < 2(\frac{\sqrt 2}{2} -x)$ $\implies \frac{1}{2n} < \frac{\sqrt 2}{2} -x$ $\implies \frac{\sqrt 2}{2} - \frac{1}{2n} > x$ $\implies x\in (-1,\frac{\sqrt 2}{2} -\frac{1}{2n})$
Caso 2: $x\in \mathbb{Q}\cap (\frac{\sqrt 2}{2},1]$
A continuación, $x\in (\frac{\sqrt 2}{2},2)$
Por lo tanto, $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}O_n \cup (\frac{\sqrt 2}{2},2) \supseteq [0,1]$ $\big \{(\frac{\sqrt 2}{2}, 2), O_n : n\in \mathbb{N}\big \}$ es una cubierta abierta de a $\mathbb{Q}\cap [0,1]$.
Ahora, quiero mostrar que la cubierta está abierta para $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ no tiene un número finito de subcover.
Supongamos por el contrario que $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ tiene un número finito de subcover.
Entonces, el finito subcover tiene la forma $\{(\frac{\sqrt 2}{2},2), O_{n_{1}}, O_{n_{2}}, ... ,O_{n_{k}}$ algunos $k\in \mathbb{N} \big \}$.
Deje $M=$ max$\big \{{n_{1}},{n_{2}},...,{n_{k}}\big \}$
Desde $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{N}$, $\exists y\in \mathbb{Q}$ tal que $\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{1}{2M}<y<\frac{\sqrt 2}{2}$
Pero el finito subcover no contiene $y$, lo cual es una contradicción.
Voy a estar contento si alguien puede comprobar si la prueba está bien. Gracias.
