Simplificando $\nabla[ \phi( \parallel \mathbf{x} - \mathbf{\xi}_i \parallel ) ]$

Question

Agradecería la ayuda de la simplificación de la relación $$ \nabla\left[ \; \phi(\paralelo \mathbf{x} - \mathbf{\xi}_i \paralelo) \; \right] $$

para$\mathbf{x}$$\mathbf{\xi}_i$$\mathcal{R}^n$. Esto es lo lejos que he llegado (ni siquiera estoy seguro de si estoy en la pista de la derecha)

Establecimiento $\mathbf{u} = \parallel \mathbf{x} - \mathbf{\xi}_i \parallel$, por lo que $$ \nabla[ \phi(\mathbf{u}) ] = \left( \frac{\partial \phi}{\partial u_1} , \cdots , \frac{\partial \phi}{\partial u_n} \right) $$

pero

$$ \frac{\partial \phi}{\partial u_j} = \frac{\partial \phi}{\partial u_j} \frac{\partial u_j}{\partial \mathbf{x}} + \frac{\partial \phi}{\partial u_j} \frac{\partial u_j}{\partial \mathbf{\xi}_i} $$

para $j = 1 , \cdots , n$

Nota: esta pregunta está relacionada con una anterior

Editar: Tus respuestas son correctas, y yo le etiqueta como tal, pero que no son las respuestas que yo estaba esperando. En mi anterior pregunta, me ayuda necesaria que demuestra una relación entre involucran $\mathbf{x}$$\mathbf{\xi}$, a partir de la página 14 de estos conferencia de las diapositivas. Lo que ahora estoy tratando de entender es la razón por la $\phi$ es diferenciado con respecto a $\xi$ en el primer lugar decir $\frac{\partial \phi}{\partial \xi}$. El problema en el que estoy trabajando es en la zona de interpolación de Hermite. Por ejemplo, en la página 4 (columna 1) el papel de Hermite variacional implícito reconstrucción de la superficie se muestra que

$$ \frac{\partial}{\partial f} \mathbf{n}_i^T \nabla f(\mathbf{\xi}_i) = \mathbf{n}_i^T \nabla k(\mathbf{x} , \mathbf{\xi}_i) $$

En el pasado he asumido que las componentes del gradiente de $\nabla f(\mathbf{\xi}_i)$ $\nabla k(\mathbf{x} , \mathbf{\xi}_i)$ fueron diferenciales de $f(\mathbf{\xi}_i)$ $k(\mathbf{x} , \mathbf{\xi}_i)$ con respecto al $x_i$. Sin embargo, la conferencia de las diapositivas y el papel sugieren que los términos del gradiente son diferenciales con respecto a $\xi_i$. Lo que realmente me gustaría saber es por qué.

Answer 1

Para la función de $\rho({\bf x}):=\|{\bf x}\|$ uno tiene ${\partial \rho\over\partial x_i}={x_i\over \|{\bf x}\|}$ $\ (1\leq i\leq n)$, o $$\nabla \rho({\bf x})={{\bf x}\over \|{\bf x}\|}\ .\qquad(1)$$ Consideremos ahora la función $$f({\bf x}):=\phi(\|{\bf x}-\xi\|)=\phi\bigl(\rho({\bf x}-\xi)\bigr)\qquad(2)$$ donde $\xi$ es fijo e $\phi:\ {\mathbb R_{\geq0}}\to{\mathbb R}$ es alguna función escalar de variable real $r$. Luego por la de una variable regla de la cadena y (1) uno tiene $${\partial f\over\partial x_i}=\phi'\bigl(\rho({\bf x}-\xi)\bigr)\ {\partial \rho({\bf x}-\xi)\over\partial x_i} =\phi'(\|{\bf x}-\xi\|){x_i-\xi_i \over \|{\bf x}-\xi\|}\qquad(1\leq i\leq n)\ .$$ Estos $n$ ecuaciones escalares se pueden resumir a $$\nabla f({\bf x})=\phi'(\|{\bf x}-\xi\|){{\bf x}-\xi \over \|{\bf x}-\xi\|}\ .\qquad(3)$$ Si uno es lo suficientemente fluida con multidimensional de cálculo por supuesto uno puede omitir el uso de coordenadas por completo y pasar directamente a partir de (2) a (3) con (1).

Answer 2

Desde $||\mathbf{x} - \xi_i||$ es un escalar, simplemente establezca $u=||\mathbf{x} - \xi_i||$ y, a continuación, usted tiene

$$\nabla \phi(u) = \phi'(u) \nabla u$$

y, observando que $u^2=||\mathbf{x}-\xi_i||^2$ puede deducir $\nabla u = (\mathbf{x}-\xi_i)/u$, y por lo tanto

$$\nabla \phi(||\mathbf{x}-\xi_i||) = \frac{\mathbf{x}-\xi_i}{||\mathbf{x}-\xi_i||} \phi'(||\mathbf{x}-\xi_i||)$$

o, en palabras, es el vector que apunta en la dirección $\mathbf{x} - \xi_i$ con magnitud $\phi'(||\mathbf{x}-\xi_i||)$.