La determinación de los valores de $\lambda$ para los que la matriz es invertible

Question

Estoy trabajando en una tarea problema y estoy un poco atascado. La pregunta es: Determinar los valores de $\lambda$ para los que la matriz $$\begin{pmatrix} \lambda &-1&0\\ -1&\lambda&-1\\ 0&-1&\lambda\\ \end{pmatrix}$$ es invertible.

Miré a mi alrededor y un sitio sugerido encontrar el determinante, la que yo hice: $|A| = \lambda^3$

Lo que no entiendo es lo que voy a hacer, ahora que tengo el determinante.

Answer 1

El principio clave aquí es que una matriz es invertible si sólo si su determinante es distinto de cero.

Aplicamos este principio de la siguiente manera:

Conjunto

$A(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda &-1 & 0 \\ -1 & \lambda & -1 \\ 0 & -1 & \lambda\end{bmatrix}; \tag{1}$

entonces tenemos

$\det A(\lambda) = \lambda^3 - 2\lambda; \tag{2}$

por lo tanto $\det A(\lambda) = 0$ precisamente cuando

$0 = \lambda^3 - 2 \lambda = \lambda(\lambda^2 - 2); \tag{3}$

las raíces de esta ecuación son fáciles de ver para ser

$\lambda = 0, \pm \sqrt 2; \tag{4}$

$A(\lambda)$ es por lo tanto invertible para todos los demás valores de $\lambda$.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 2

Sugerencia: $A$ es invertible si tiene un valor distinto de cero determinante.

Answer 3

Supongamos que el determinante de esta matriz es cero, a continuación, calcular $\lambda$ que resuelve esta ecuación. A continuación, todos los $\lambda$ que no resuelve esta ecuación son lo que usted está buscando.