Deje $A, B\in Mat_{n,n}(\Bbb R)$. Supongamos que $AB=BA=0$, $\mathrm{rank}(A^2)=\mathrm{rank}(A)$. Espectáculo $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(A+B)$

Question

La pregunta es:

Si $A$ $B$ dos $n\times n$ matrices，$AB=BA=0$ $\mathrm{rank}(A^2)=\mathrm{rank}(A)$ a continuación muestran que la $\mathrm{rank}(A+B)=\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)$.

Yo sólo logran demostrar que $\mathrm{rank}(A^n)=\mathrm{rank}(A)$ y algunas conclusiones comunes. No sé cómo ir más allá. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Ciertamente,$\text{Image}(A+B)\subseteq\text{Image}(A)+\text{Image}(B)$. Uno tiene que demostrar que la inclusión tiene y que $\text{Image}(A)\cap\text{Image}(B)=\{0\}$. Si $u\in \text{Image}(A)$$u\in\text{Image}(A^2)$, lo $u=A^2w=(A+B)Aw\in\text{Image}(A+B)$. Si $u=Bx\in \text{Image}(B)$ $u=(A+B)x-Ax$ por lo $u\in\text{Image}(A+B)$ también.

Deje $u\in\text{Image}(A)\cap\text{Image}(B)$. A continuación,$Au=0$. Pero $A$ es de $\text{Image}(A)$ bijectively a sí mismo. Por lo tanto,$u=0$.