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"Paquete de métricas" en un principal paquete?

Me he encontrado con el término "paquete de métricas" en un principal paquete. En particular, mi configuración es que para $N\longrightarrow M$ a la universalización de la cobertura de una superficie de Riemann compacta, $P\longrightarrow M$ principal $GL(n,\mathbb{C})$-bundle, podemos considerar el conjunto de métricas" en el pullback de P a lo largo de la universal que cubre mapa de M.

Yo no era capaz de encontrar ninguna definición de este paquete. Podría alguien ser capaz de explicar a mí?

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Gil Bor Puntos 2564

Deje $P\to M$ principal $GL(n,\mathbb C)$ paquete sobre algunos colector $M$. La rápida (y misterioso) definición de "la del manojo de métricas en $P$" es la fibra de paquete (no prinicipal) $P/U(n)\to M$, con fibra $GL(n,\mathbb C)/U(n)$ donde $U(n)\subset GL(n,\mathbb C)$ es el subgrupo de matrices unitarias.

Voy a bosquejar la razón de este nombre. Deje $E\to M$ ser el vector complejo paquete asociado a $P$ por el estándar de la acción de $GL(n,\mathbb C)$$\mathbb C^n$. Luego hay un bijection entre los siguientes:

(1) hermitian métricas en $E$;

(2) secciones de $P/U(n)\to M$.

El mapa (1) $\to$ (2) es el siguiente. Hay un bijection entre el $P$ y el conjunto de marcos de $E$, es decir, lineal isomorphisms entre el $\mathbb C^n$ y algo de fibra $E_x$ de $E$, $x\in M$. Con un hermitian métrica en $E$, asociado a la serie de unitarios de los marcos de la $E$, es decir, lineal isomorphisms $\mathbb C^n\to E_x$ mapa que el estándar de hermitian métrica en $\mathbb C^n$ a la hermitian métrica en $E_x$.

También hay una 3ª clase de objetos estándar, en bijection con los dos anteriores, que es útil tener en cuenta:

(3) reducción de la estructura del grupo de $P$ $GL(n,\mathbb C)$ $U(n).$

Nota: el bijection de (2) con (3) es válida para cualquier director $G$ paquete y un subgrupo $H$. En muchos casos, como el nuestro, la reducción de $G$ $H$puede interpretarse como una estructura geométrica en una fibra paquete asociado con alguna acción de $G$.

Espero que usted puede llenar los detalles y que responde a su pregunta.

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