Prueba de Japonés "Teorema" -- la Triangulación de la Cíclica Polígono

Question

En Mathoverflow, vi este gran resultado en el Japonés "Teorema".

• Japonés "Teorema" en la cíclico polígonos: de Mayores dimensiones que las generalizaciones?
• Dada la triangulación de un cíclico polígono, la suma de las áreas de inradii de la incircles de los triángulos es independiente de la triangulación.

¿Cómo podemos demostrar este resultado de lo que hacen los independientes de la triangulación obvio.

El inradius está relacionado con el área por $\boxed{\text{Area} = \text{semiperimeter} \times \text{inradius}}$. Tal vez esto puede ser usado para re-crear la ley de la conservación de arriba?

Además, es suficiente para demostrar este resultado para un cuadrilátero cíclico y comparar las dos triangulaciones.

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Prueba: Wikipedia dice que se basa en el Teorema de Carnot: $OO_A+OO_B+OO_C = R + r$ donde $r$ es el inradius, y $R$ es el circunradio, $OO_A,OO_B,OO_C$ distancias a los lados del triángulo.

En ese caso, yo no soy la comprensión de la prueba de este Carnot del resultado, o por qué - si nos suma más de los triángulos de la triangulación - esta suma es independiente de la triangulación.

Answer 1

Para demostrar Carnot del resultado, se puede recurrir a una puramente trigonométricas de identidad.

Primero $$ \sum OO_A=R\sum \cos Un $$ Segundo $r(a+b+c)=2Rr(\sum \sin A)=2 \times Area=ac\sin B=4R^2\Pi\sin A $, por lo que $$ r=2R\frac{\Pi\pecado de Un}{\sum\pecado, Un}. $$

Ahora la aplicación de la conocida identidades $$ \sum \sen A=4\Pi\cos\frac{A}{2} $$ y $$ \sum \cos A=1+4\Pi \sin \frac{A}{2} $$