Cómo evaluar la integral de la $\iint_C \sin (x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$

Question

Me gustaría evaluar

$$\iint\limits_C \sin (x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$$

donde $C$ es el primer cuadrante, es decir,

$$\int\limits_0^\infty\int\limits_0^\infty \sin (x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$$

donde

$$\int\limits_0^\infty \sin x^2\, dx=\int\limits_0^\infty \cos x^2\, dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$

Answer 1

$$\begin{array}{c l}\int_0^\infty\int_0^\infty \sin(x^2+y^2)dxdy & = \int_0^\infty\int_0^\infty \sin(x^2)\cos(y^2)+\cos(x^2)\sin(y^2)dxdy \\[10pt] & =\int_0^\infty\sin(x^2)dx\int_0^\infty\cos(y^2)dy \\ & \qquad~~~+\int_0^\infty\cos(x^2)dx\int_0^\infty\sin(y^2)dy \\[10pt] & = 2\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^2=\frac{\pi}{4}. \end{array}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$ \int_0^\infty\int_0^\infty \sin (x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy= \operatorname{Im}\left[\int_0^\infty\int_0^\infty \exp (i(x^2+y^2))\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right] $$

así, recordando que $\int f(x)\, \mathrm dx=\int f(y)\, \mathrm dy$

$$ \int_0^\infty\int_0^\infty \exp (i(x^2+y^2))\,\mathrm dx\,\mathrm dy= \int_0^\infty \exp(ix^2) \,\mathrm dx\int_0^\infty \exp (iy^2)\,\mathrm dy= \left(\int_0^\infty \exp(ix^2) \,\mathrm dx \right)^2 $$

La expansión de la $\exp (ix^2)$ a $\cos x^2+i\sin x^2$, nos encontramos con

$$ \left(\int_0^\infty \exp(ix^2) \,\mathrm dx \right)^2= \left(\int_0^\infty \cos x^2+i\sin x^2 \,\mathrm dx \right)^2=\left((1+i)\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^2= 2i \cdot \frac{\pi}{8}= i\frac{\pi}{4} $$

Así, tomando la parte imaginaria, vemos que la respuesta es $\frac{\pi}{4}$. Como un bono adicional, hemos de tomar la parte real de la respuesta ($0$) para determinar que $\int_0^\infty\int_0^\infty \cos (x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=0$

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Aquí es una alternativa de la prueba:

Si usamos coordenadas polares, vemos ($x=r\cos \theta$, $x=r\sin \theta$, $\mathrm dx\,\mathrm dy = r\mathrm dr\,\mathrm d\theta$)

$$ \int_0^\infty\int_0^\infty \sin (x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy= \int_{0}^{2\pi}\int_0^\infty r\sin (r^2)\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta $$

que diverge. Así, se introduce un "dummy función," $\exp(-\delta (x^2+y^2))$ que es igual a $1$ al $\delta \to 0$. A continuación,

$$ \int_0^\infty\int_0^\infty \exp(-\delta (x^2+y^2))\sin (x^2+y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy= \int_{0}^{\pi/2}\int_0^\infty r\exp(-\delta del r^2)\sin (r^2)\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=$$ $$a=\frac{\pi}{2} \int_0^\infty r\exp(-\delta del r^2)\sin (r^2)\,\mathrm dr $$

La sustitución de $r^2=u$, $r \mathrm dr = \frac{1}{2}\mathrm du$, la integral se convierte en

$$\frac{\pi}{4} \int_0^\infty \exp(-\delta u)\sin (u)\,\mathrm du= \frac{\pi}{4(\delta^2+1)}$$

y vemos que cuando la $\delta \to 0$ la integral converge a $\frac{\pi}{4}$.