Ejemplos de preordenes en los cuales encuentros y uniones no existen.

Question

Ejercicio 1.2.8 (Parte 1), p.8, a partir de las Categorías para los Tipos de Roy L. Crole

Definición: Dejar $X$ ser un conjunto preordenado y $A \subseteq X$. Un únete a de $A$, si existe, es por lo menos un elemento en el conjunto de límites superiores para $A$. Un cumple de $A$, si existe, es un gran elemento en el conjunto de cotas inferiores para $A$.

Ejercicio: asegúrese de entender la definición de reunirse y unirse en un preorder $X$. Creo que de unos simples finitos conjuntos preordenados en el que se reúne y une no existen.

Answer 1

Dejar $X = {a, b}$. Defina un preorden en$X$ como$a \le a$ y$b \le b$. Ahora suponga que$\vee X$ es una unión de$X$. Entonces,$\vee X$ es un límite superior de$X$. Y entonces $a \le \vee X$. Entonces$b \le \vee X$ y$\vee X = a$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto,$\vee X = b$ no existe. Una prueba similar demostrará que$\vee X$ no tiene un encuentro, tampoco.