$\lfloor n^{1/2}\rfloor+\cdots+\lfloor n^{1/n}\rfloor=\lfloor \log_2n\rfloor +\cdots+\lfloor \log_nn \rfloor$

Question

Probar que: $\lfloor n^{1/2}\rfloor+\cdots+\lfloor n^{1/n}\rfloor=\lfloor \log_2n\rfloor +\cdots+\lfloor \log_nn \rfloor$ $n > 1,\, n\in \mathbb{N}$

Por ejemplo. Para $n=2$, tenemos $\lfloor 2^{1/2} \rfloor = \lfloor 1.414 \rfloor = 1$ , mientras que $\lfloor \log_2(2) \rfloor = 1$ mientras que para $n=3$, tenemos $$\lfloor 3^{1/2} \rfloor + \lfloor 3^{1/3} \rfloor = \lfloor 1.732 \rfloor + \lfloor 1.442 \rfloor = 2= \lfloor 1.585 \rfloor + \lfloor 1 \rfloor=\lfloor \log_2(3) \rfloor + \lfloor \log_3(3) \rfloor .$$

Yo estaba pensando en el uso de la inducción. Así que desde $n=2$ es cierto, ahora asumir por parte de todos los $n$, esta identidad es cierto, nos gustaría demostrar que $n+1$ es cierto. Entonces

$$\lfloor n^{1/2} \rfloor + \lfloor n^{1/3} \rfloor + ... + \lfloor n^{1/n} \rfloor + \lfloor (n+1)^{1/(n+1)} \rfloor,$$ donde $(n+1)^{1/(n+1)} > 1$ todos los $n>1$ pero es estrictamente decreciente por encima del 1 por lo $\lfloor (n+1)^{1/(n+1)} \rfloor = 1$

$\implica \lfloor n^{1/2} \rfloor + \lfloor n^{1/3} \rfloor +\cdots+ \lfloor n^{1/n} \rfloor + \lfloor (n+1)^{1/(n+1)} \rfloor = \lfloor n^{1/2} \rfloor + \lfloor n^{1/3} \rfloor +\cdots+ \lfloor n^{1/n} \rfloor + 1 $

$= \lfloor \log_2(n) \rfloor + \lfloor \log_3(n) \rfloor + \cdots+ \lfloor \log_n(n) \rfloor + \lfloor \log_{n+1}(n+1) \rfloor$

ya, $\log_{n+1}(n+1) = 1$ todos los $n$.

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Mi pregunta es: ¿Cómo podemos saber que $(n+1)^{1/(n+1)}$ nunca ir debajo de la $1$? es decir, ¿Cómo podemos demostrar que esta función $f(x) = (x+1)^{1/(x+1)}$ siempre está acotado abajo por $1$$x>1$? (En primer lugar, Cuando $x=0$, $f(0)=1$, luego mirando es derivado, uno puede ver que es estrictamente creciente para $x$ $(0,1)$ y disminuyendo en todas las $x>1$).

Answer 1

Este es un clásico de ejercicio y con una solución muy elegante.

La idea de la prueba es para contar el número de $N$ de los puntos (ver figura de abajo) con coordenadas enteras, que se encuentran en la región $$ U=\big\{(x,y): 0<x\le n \,\,\,\text{y}\,\,\, 1<y\le n^{1/x}\big\}, $$ y, en particular, los puntos rojos, en dos formas: horizontal y vertical.

Horizontal a contar: $$ N=\lfloor n^{1/2}\rfloor+\lfloor n^{1/3}\rfloor+\cdots+\lfloor n^{1/n}\rfloor, $$ ya en la línea horizontal $\,y=k\,$ se encuentran exactamente $\,\lfloor n^{1/k}\rfloor\,$ puntos rojos.

Vertical contar: $$ N=\lfloor \log_2 n\rfloor+\lfloor\log_3 n\rfloor+\cdots+\lfloor \log_n n\rfloor, $$ ya en la vertical de la línea de $\,x=k\,$ se encuentran exactamente $\,\lfloor \log_k n\rfloor\,$ puntos rojos.

$$ {} $$

Tenga en cuenta que la curva en la figura de arriba es de la función $y=n^{1/x}$.

Este problema se preguntó por primera vez en la urss Olimpiada de Matemáticas en 1982 (Всесоюзный Математический Олимпиад.)

Answer 2

Fix $b>1$. Entonces la derivada de $b^x$ es $\ln(b) b^x$; $\ln(b)$ es positiva y $b^x$ es así para todos los $x$, mostrando que ese $b^x$ es estrictamente una función creciente. Siguiente, $b^0=1$, mostrando que el $b^x>1$ todos los $x>0$.

Siguiente, ya $n+1>1$$1/(n+1)>0$,$(n+1)^{1/(n+1)}>1$.