¿Cómo probar que$AB = \{xy \in \mathbb R : x \in A, y \in B\}$ es un conjunto abierto?

Question

Dejar $A,B \subset \mathbb R$, $AB = \{xy \in \mathbb R : x \in A, y \in B\}$. Si A y B son conjuntos abiertos, ¿sería AB un conjunto abierto?

Entiendo esta pregunta de forma gráfica o intuitiva, pero estoy confundido sobre cómo probarlo de manera detallada. ¿Alguien puede darme una idea?

Answer 1

Si $0\notin B$, entonces usted no necesita $B$ abrir:

Para cada $b\in B$, el mapa de $x\mapsto xb$ es un homeomorphism en $\mathbb{R}$, lo $Ab$ está abierto. Entonces

$$AB = \bigcup_{b\in B}Ab,$$

por lo $AB$ está abierto.

Si $0\in B$, es un poco difícil. Necesitamos $B$ a ser abierto. En ese caso, $B':= (-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq B$ algunos $\varepsilon > 0$. Entonces podemos descomponer $B = B' \cup B''$ donde $B'' = B\setminus B'$. Ahora $AB = AB' \cup AB''$ y sabemos que $AB''$ está abierto. Todo lo que tenemos que hacer es demostrar que $AB'$ está abierto.

Ahora $B'$ está abierto, así que si $0\notin A$, se puede utilizar el mismo argumento para demostrar que $AB'$ está abierto. De lo contrario, hacemos una descomposición similar a $A = A' \cup A''$ donde$A' = (-\delta,\delta)\subseteq A$$A'' = A\setminus A'$. Ahora

$$AB = A'B' \cup A''B' \cup AB''.$$

Tenemos que demostrar que el $A'B' = (-\varepsilon,\varepsilon)(-\delta,\delta)$ está abierto. Para hacerlo, tenga en cuenta que $A'B' = (-\varepsilon\delta,\varepsilon\delta)$, que es abierto.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que para cualquier$a \neq 0$, el conjunto$a B =\{ab \:|\: b \in B\}$ está abierto si$B$ está abierto, ya que la multiplicación con$a$ es un homeomorfismo de$\mathbb{R}$ en sí mismo. . De manera similar,$Ab = \{ab \:|\: a \in A\}$ está abierto para cada$b \neq 0$.

Ahora, recuerde que un conjunto está abierto si es una unión de conjuntos abiertos, entonces si$0 \notin A$, entonces$AB = \bigcup_{a \in A} aB$ está abierto. Si es$0 \in A$, entonces para cualquier$0 \neq b \in B$ tienes$AB = (A\setminus\{0\})B \cup Ab$ que está abierto siendo la unión de dos conjuntos abiertos.

Answer 3

Sea$x.y \in AB$, con$x\neq 0,y\neq 0$, ya que B está abierto, hay$B(y,r)\subset B$, luego$x.y \in a B(y,r)$ que está abierto.
Si$x=0$, sea$B(0,r)\subset A$ y$y\in B$ con$y\neq 0$, entonces$y.B(0,r)$ está abierto. Esto prueba que AB está abierto.