Cardenales vs Inaccesibles Cardenales, ¿por qué diferentes?

Question

Una mundana cardenal $\kappa $ está definido por $V_\kappa \vDash ZFC $ . Un cardinal inaccesible $\iota $ se define de tal manera que $V_\iota \ $ es un Grothendieck del universo y por lo que proporciona un modelo de ZFC. Por lo tanto inaccesible cardenales son mundanos. Pero si existe la menor mundana cardenal es singular, por lo que no inaccesible.

Mi pregunta es ¿cómo puede ser que $V_\kappa \vDash ZFC $, y sin embargo no ser Grothendieck? Por ejemplo $V_\kappa \vDash \forall x(set x \implies set \wp x) $ $V_\kappa $ es cerrado bajo $\wp $, y de manera similar para el resto de Grothendieck propiedades (transitivo, el infinito, los pares, los sindicatos, poderes, sustituciones). Si $V_\kappa $ mundana, no debería por lo tanto ser Grothendieck, ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

No sé la definición exacta de Grothendieck del universo está utilizando, pero el siguiente es el corazón de la materia y puede ser ajustado para abordar algunos axioma o de otra de la que sea su definición.

Una propiedad que un Grothendieck universo $U$ debe cumplir es que si $x\in U$ $f:x\to U$ es una función, entonces la imagen de a $f$ es un elemento de $U$. Sin embargo, usted no puede probar que esta declaración de simplemente saber que $U$ es un modelo de ZFC. El problema es que el único axioma que usted podría ser capaz de utilizar para probar que esto es de Sustitución, sin embargo, la Sustitución sólo se aplica a las funciones que están definidas por una fórmula con parámetros. Es posible que no hay ninguna fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que define la función de $f$ cuando se interpreta en $U$, incluso si usted permite que los elementos de $U$ como parámetros en la fórmula.

Para conectar este con Asaf la respuesta, al menos mundana cardenal $\kappa$ ha contables cofinality, y es el límite de alguna secuencia $(\alpha_n)_{n\in\omega}$, que es una función de $\omega\to V_\kappa$. Sin embargo, esta función no puede ser definido en la estructura de la $V_\kappa$, y para el Reemplazo en $V_\kappa$ no requiere que esta función es en realidad un elemento de $V_\kappa$ (y de hecho no lo es). Esto no es diferente de cómo una contables modelo de ZFC no saben que es contable, ya que la función de $\omega$ que sería testigo de su countability no es un elemento del modelo.

Answer 2

Al menos $\kappa$ tal que $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$-si tal $\kappa$ existe-ha cofinality $\omega$. Ciertamente no es inaccesible, ya que es singular.

Pero un Grothendieck universo es cerrado bajo arbitraria de funciones con dominios dentro del universo. Esto significa que si $\alpha_n$ es cofinal siguiente secuencia $\kappa$, ya que el $\omega\in V_\kappa$, la misma secuencia $\langle\alpha_n\mid n<\omega\rangle$ tiene que ser dentro de$V_\kappa$. Pero no puede ser, desde su supremum es $\kappa$.

Tenga en cuenta que el Tarski–Grothendieck la teoría de conjuntos no incluye también la Fundación, como un axioma, pero se sigue por la misma razón que el anterior. Si la Fundación no llega, no es un testimonio de esto en la forma de una disminución en el $\omega$-secuencia, pero que sería testigo del fracaso de la Fundación en el universo. Y, por supuesto, esto es imposible.

Answer 3

En adición a las otras respuestas, creo que es útil ver una prueba de la

Hecho. Al menos worldy cardenal $\kappa$, si es que existe, es de cofinality $\omega$.

Prueba (Boceto). Deje $\lambda$ ser un worldy cardenal de innumerables cofinality y fijar un orden de $\prec$$V_{\lambda}$. Deje $(\phi_n \mid n \in \omega)$ ser una enumeración de todos los axiomas de la $\mathrm{ZFC}$ (o, si se quiere, de la teoría de la $(V_{\lambda}; \in)$) que es cerrado bajo subformulae. Deje $\lambda_0 = \omega$ e da $\lambda_i$ deje $\lambda_{i} < \lambda_{i+1}$ ser mínima tal que $V_{\lambda_{i+1}}$ contiene todas las evaluaciones de la $\prec$-Skolem términos de $(\phi_n \mid n < \omega)$ con parámetros en $V_{\lambda_{i}}$, es decir, para cuando $\vec{p} \in [V_{\lambda_i}]^{<\omega}$ y $$ (V_\lambda; \) \modelos \exists x \phi_{n}(x, \vec{p}), $$ a continuación, el $\prec$-menos $x$$V_{\lambda_{i+1}}$. Un sencillo cálculo muestra que $\kappa := \sup_{i < \omega} \lambda_i$ es mundano. Desde $\mathrm{cof}(\lambda) > \omega$ además, hemos que $\kappa < \lambda$ - por lo tanto, $\lambda$ no es el menos mundana cardenal. Q. E. D.

Answer 4

Aunque$V_{\kappa}$ es un modelo de$\mathrm{ZFC}$ para todos los cardenales mundanos$\kappa$, no puede probar dentro de$V_{\kappa}$ que$V_{\kappa}$ es (externamente) un universo Grothendieck, ya que eso requiere que cuantifiques sobre clases de tamaño (externo)$\kappa$, lo que no puedes hacer dentro de$V_{\kappa}$ desde$\kappa \not \in V_{\kappa}$.